Vektorji za lutke. Dejanja z vektorji

Končno sem dobil v roke obsežno in dolgo pričakovano temo analitična geometrija. Najprej nekaj o tem oddelku višje matematike ... Zagotovo ste se zdaj spomnili šolskega tečaja geometrije s številnimi izreki, njihovimi dokazi, risbami itd. Kaj skrivati, neljuba in pogosto nejasna tema za precejšen delež študentov. Analitična geometrija, nenavadno, se morda zdi bolj zanimiva in dostopna. Kaj pomeni pridevnik "analitično"? Takoj prideta na misel dva vtisnjena matematična obrata: »grafična metoda rešitve« in »analitična metoda rešitve«. Grafična metoda, seveda je povezana z gradnjo grafov, risb. Analitično enako metoda vključuje reševanje problemov pretežno preko algebraičnih operacij. V zvezi s tem je algoritem za reševanje skoraj vseh problemov analitične geometrije preprost in pregleden, pogosto je dovolj, da natančno uporabite potrebne formule - in odgovor je pripravljen! Ne, seveda brez risb sploh ne bo šlo, poleg tega jih bom za boljše razumevanje gradiva poskušal preseči potrebo.

Odprti potek pouka geometrije ne trdi, da je teoretična popolnost, osredotočen je na reševanje praktičnih problemov. V svoja predavanja bom vključil le tisto, kar je z mojega vidika pomembno v praksi. Če potrebujete bolj popolno referenco o katerem koli pododdelku, priporočam naslednjo precej dostopno literaturo:

1) Stvar, ki jo, brez šale, pozna več generacij: Šolski učbenik geometrije, avtorji - L.S. Atanasyan in družba. Ta obešalnik šolske garderobe je zdržal že 20 (!) ponovnih izdaj, kar pa seveda ni meja.

2) Geometrija v 2 zvezkih. Avtorji L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. To je literatura za visokošolsko izobraževanje, ki jo boste potrebovali prvi zvezek. Redko pojavljajoča se opravila lahko izpadejo iz mojega vidnega polja in vadnica mi bo v neprecenljivo pomoč.

Obe knjigi sta brezplačni za prenos na spletu. Poleg tega lahko uporabite moj arhiv s pripravljenimi rešitvami, ki jih najdete na strani Prenesite primere višje matematike.

Od orodij spet ponujam lasten razvoj - programski paket na analitični geometriji, kar bo močno poenostavilo življenje in prihranilo veliko časa.

Predpostavlja se, da je bralec seznanjen z osnovnimi geometrijskimi pojmi in liki: točka, premica, ravnina, trikotnik, paralelogram, paralelepiped, kocka itd. Priporočljivo je, da se spomnite nekaterih izrekov, vsaj Pitagorovega izreka, pozdravljeni ponavljalci)

In zdaj bomo zaporedno obravnavali: koncept vektorja, dejanja z vektorji, vektorske koordinate. Nadalje priporočam branje najpomembnejši članek Pik produkt vektorjev, tako dobro, kot Vektorski in mešani produkt vektorjev. Lokalna naloga ne bo odveč - delitev segmenta v zvezi s tem. Na podlagi zgornjih informacij lahko enačba premice v ravnini Z najenostavnejši primeri rešitev, kar bo omogočilo naučite se reševati probleme iz geometrije. V pomoč so tudi naslednji članki: Enačba ravnine v prostoru, Enačbe ravne črte v prostoru, Osnovni problemi na premici in ravnini , drugi odseki analitične geometrije. Seveda bodo na poti upoštevane standardne naloge.

Koncept vektorja. prosti vektor

Najprej ponovimo šolsko definicijo vektorja. Vektor poklical usmerjeno segment, za katerega sta označena njegov začetek in konec:

V tem primeru je začetek segmenta točka, konec segmenta pa točka. Sam vektor je označen z . Smer je bistveno, če puščico prerazporedite na drugi konec segmenta, dobite vektor, in to je že popolnoma drugačen vektor. Pojem vektorja je priročno poistovetiti z gibanjem fizičnega telesa: priznati morate, da sta vstopiti v vrata inštituta ali zapustiti vrata inštituta popolnoma različni stvari.

Priročno je obravnavati posamezne točke ravnine, prostor kot ti ničelni vektor. Tak vektor ima enak konec in začetek.

!!! Opomba: Tu in spodaj lahko domnevate, da vektorja ležijo v isti ravnini ali pa domnevate, da se nahajajo v prostoru - bistvo predstavljenega materiala velja tako za ravnino kot prostor.

Oznake: Mnogi so takoj opozorili na palico brez puščice v oznaki in povedali, da so na vrh postavili tudi puščico! Tako je, lahko pišete s puščico: , vendar je dopustno in zapis, ki ga bom uporabil kasneje. zakaj? Očitno se je takšna navada razvila iz praktičnih premislekov, moji strelci v šoli in na univerzi so se izkazali za preveč raznolike in kosmate. V izobraževalni literaturi se včasih sploh ne obremenjujejo s klinopisom, ampak črke poudarijo krepko: , s čimer namigujejo, da je to vektor.

To je bil slog, zdaj pa o načinih pisanja vektorjev:

1) Vektorje lahko zapišemo z dvema velikima latiničnima črkama:
itd. Medtem ko je prva črka nujno označuje začetno točko vektorja, druga črka pa končno točko vektorja.

2) Vektorji so napisani tudi z malimi latinskimi črkami:
Zlasti naš vektor je mogoče zaradi kratkosti preoblikovati z majhno latinično črko.

Dolžina oz modul vektor, ki ni nič, se imenuje dolžina segmenta. Dolžina ničelnega vektorja je nič. Logično.

Dolžina vektorja je označena z modulo znakom: ,

Kako najti dolžino vektorja, se bomo naučili (ali ponovili, za koga kako) malo kasneje.

To so bile osnovne informacije o vektorju, ki jih poznajo vsi šolarji. V analitični geometriji je tako imenovana prosti vektor.

Če je čisto preprosto - vektor je mogoče narisati iz katere koli točke:

Takšne vektorje smo včasih imenovali enakovredni (definicija enakih vektorjev bo podana v nadaljevanju), a s čisto matematičnega vidika je to ISTI VEKTOR oz. prosti vektor. Zakaj brezplačno? Ker lahko med reševanjem problemov "pripnete" enega ali drugega "šolskega" vektorja na KAKRŠNO koli točko ravnine ali prostora, ki ga potrebujete. To je zelo kul lastnost! Predstavljajte si usmerjen odsek poljubne dolžine in smeri – lahko ga »klonirate« neskončno število krat in na kateri koli točki v prostoru, pravzaprav obstaja povsod. Obstaja takšen študentski pregovor: Vsak predavatelj v f ** u v vektorju. Konec koncev, to ni samo duhovita rima, vse je skoraj pravilno - tam je mogoče pritrditi tudi usmerjen segment. Ampak ne hitite se veseliti, učenci sami pogosteje trpijo =)

torej prosti vektor- to kup enakih smernih segmentih. Šolska definicija vektorja, podana na začetku odstavka: "usmerjeni segment se imenuje vektor ...", pomeni specifične usmerjen segment, vzet iz danega niza, ki je pritrjen na določeno točko v ravnini ali prostoru.

Treba je opozoriti, da je z vidika fizike koncept prostega vektorja na splošno napačen in je pomembno, kje se uporablja. Dejansko je neposreden udarec enake sile v nos ali na čelo dovolj, da razvijem moj neumni primer, kar povzroči različne posledice. Vendar pa ni zastonj vektorje najdemo tudi v teku vyshmata (ne hodite tja :)).

Dejanja z vektorji. Kolinearnost vektorjev

V šolskem tečaju geometrije se upoštevajo številna dejanja in pravila z vektorji: seštevanje po pravilu trikotnika, seštevanje po pravilu paralelograma, pravilo razlike vektorjev, množenje vektorja s številom, skalarni produkt vektorjev itd. Kot seme ponovimo dve pravili, ki sta še posebej pomembni za reševanje problemov analitične geometrije.

Pravilo seštevanja vektorjev po pravilu trikotnikov

Razmislite o dveh poljubnih neničelnih vektorjih in:

Potrebno je najti vsoto teh vektorjev. Ker se vsi vektorji štejejo za proste, vektor iz odložimo konec vektor :

Vsota vektorjev je vektor. Za boljše razumevanje pravila je priporočljivo vanj vnesti fizični pomen: naj neko telo naredi pot vzdolž vektorja , nato pa vzdolž vektorja . Potem je vsota vektorjev vektor nastale poti, ki se začne na točki odhoda in konča na točki prihoda. Podobno pravilo je formulirano za vsoto poljubnega števila vektorjev. Kot pravijo, lahko telo gre svojo pot močno cikcak ali morda na avtopilotu - vzdolž nastalega vektorja vsote.

Mimogrede, če je vektor odložen iz začnite vektor , potem dobimo ekvivalent pravilo paralelograma dodajanje vektorjev.

Najprej o kolinearnosti vektorjev. Oba vektorja se imenujeta kolinearnoče ležijo na isti ali vzporedni premici. Grobo rečeno, govorimo o vzporednih vektorjih. Toda v zvezi z njimi se vedno uporablja pridevnik "kolinearen".

Predstavljajte si dva kolinearna vektorja. Če so puščice teh vektorjev usmerjene v isto smer, se takšni vektorji imenujejo sousmerjen. Če puščice gledajo v različne smeri, bodo vektorji nasprotno usmerjeno.

Oznake: kolinearnost vektorjev je zapisana z običajno ikono vzporednosti: , detajliranje pa je možno: (vektorji so sousmerjeni) ali (vektorji so usmerjeni nasprotno).

delo neničelnega vektorja s številom je vektor, katerega dolžina je enaka , in vektorji in so sousmerjeni na in nasprotno usmerjeni na .

Pravilo za množenje vektorja s številko je lažje razumeti s sliko:

Podrobneje razumemo:

1) Smer. Če je množitelj negativen, potem vektor spremeni smer nasprotno.

2) Dolžina. Če je faktor v ali , potem dolžina vektorja zmanjša. Torej je dolžina vektorja dvakrat manjša od dolžine vektorja. Če je množitelj modula večji od ena, potem dolžina vektorja poveča pravočasno.

3) Upoštevajte to vsi vektorji so kolinearni, medtem ko je en vektor izražen skozi drugega, na primer . Velja tudi obratno: če je en vektor mogoče izraziti z drugim, potem so ti vektorji nujno kolinearni. V to smer: če vektor pomnožimo s številom, dobimo kolinearno(glede na izvirnik) vektor.

4) Vektorji so sosmerni. Vektorji in so tudi sosmerni. Vsak vektor prve skupine je nasproten kateremu koli vektorju druge skupine.

Kateri vektorji so enaki?

Dva vektorja sta enaka, če sta sosmerna in imata enako dolžino. Upoštevajte, da sousmerjanje pomeni, da so vektorji kolinearni. Definicija bo netočna (odveč), če rečete: "Dva vektorja sta enaka, če sta kolinearna, sousmerjena in imata enako dolžino."

Z vidika koncepta prostega vektorja so enaki vektorji isti vektor, o čemer smo že govorili v prejšnjem odstavku.

Vektorske koordinate na ravnini in v prostoru

Prva točka je, da upoštevamo vektorje na ravnini. Narišite kartezijanski pravokoten koordinatni sistem in ga odložite od izhodišča samski vektorji in:

Vektorji in ortogonalno. Ortogonalno = pravokotno. Priporočam, da se izrazov počasi navadimo: namesto vzporednosti in pravokotnosti uporabljamo besedi oz. kolinearnost in ortogonalnost.

Oznaka: ortogonalnost vektorjev je zapisana z običajnim pravokotnim predznakom, na primer: .

Upoštevani vektorji se imenujejo koordinatni vektorji oz orts. Ti vektorji se oblikujejo osnova na površini. Kaj je osnova, mislim, da je mnogim intuitivno jasno, podrobnejše informacije najdete v članku Linearna (ne)odvisnost vektorjev. Vektorska osnova.Preprosto povedano, osnova in izvor koordinat določata celoten sistem – to je nekakšen temelj, na katerem vre polno in bogato geometrijsko življenje.

Včasih se konstruirana osnova imenuje ortonormalno osnova ravnine: "orto" - ker so koordinatni vektorji ortogonalni, pridevnik "normaliziran" pomeni enoto, t.j. dolžine baznih vektorjev so enake eni.

Oznaka: osnova je običajno zapisana v oklepajih, znotraj katerih v strogem redu osnovni vektorji so navedeni, na primer: . Koordinatni vektorji to je prepovedano zamenjaj mesta.

Kaj ravninski vektor edina pot izraženo kot:
, kje - številke, ki se imenujejo vektorske koordinate v tej podlagi. Toda sam izraz poklical vektorska razgradnjaosnova .

Postrežena večerja:

Začnimo s prvo črko abecede: . Risba jasno kaže, da se pri dekompoziciji vektorja glede na osnovo uporabijo pravkar obravnavani:
1) pravilo množenja vektorja s številom: in ;
2) seštevanje vektorjev po pravilu trikotnika: .

Zdaj miselno odložite vektor iz katere koli druge točke na ravnini. Povsem očitno je, da mu bo njegova korupcija "neusmiljeno sledila". Tukaj je svoboda vektorja - vektor "nosi vse s seboj." Ta lastnost seveda velja za vsak vektor. Smešno je, da samih osnovnih (prostih) vektorjev ni treba ločiti od izhodišča, enega lahko narišemo na primer levo spodaj, drugega pa desno zgoraj in od tega se ne bo nič spremenilo! Res je, tega vam ni treba storiti, saj bo učitelj tudi pokazal izvirnost in vam narisal "prepust" na nepričakovanem mestu.

Vektorji, natančno ponazarjajo pravilo za množenje vektorja s številom, vektor je sousmerjen z osnovnim vektorjem, vektor je usmerjen nasprotno osnovnemu vektorju. Za te vektorje je ena od koordinat enaka nič, lahko jo natančno zapišemo na naslednji način:


Mimogrede, osnovni vektorji so takšni: (pravzaprav so izraženi skozi sebe).

In končno: , . Mimogrede, kaj je vektorsko odštevanje in zakaj vam nisem povedal o pravilu odštevanja? Nekje v linearni algebri, ne spomnim se kje, sem opazil, da je odštevanje poseben primer seštevanja. Torej so razširitve vektorjev "de" in "e" mirno zapisane kot vsota: . Sledite risbi, da vidite, kako dobro deluje staro dobro seštevanje vektorjev po pravilu trikotnika v teh situacijah.

Upoštevana razgradnja obrazca včasih imenovana vektorska razgradnja v sistemu ort(tj. v sistemu enotskih vektorjev). Vendar to ni edini način za pisanje vektorja, pogosta je naslednja možnost:

Ali z znakom enakosti:

Sami bazni vektorji so zapisani takole: in

To pomeni, da so koordinate vektorja navedene v oklepajih. Pri praktičnih nalogah se uporabljajo vse tri možnosti snemanja.

Dvomil sem, ali naj govorim, a vseeno bom rekel: vektorskih koordinat ni mogoče preurediti. Strogo na prvem mestu zapišite koordinate, ki ustrezajo vektorju enote, strogo na drugem mestu zapiši koordinato, ki ustreza vektorju enote. Dejansko in sta dva različna vektorja.

Ugotovili smo koordinate na letalu. Zdaj razmislite o vektorjih v tridimenzionalnem prostoru, tukaj je vse skoraj enako! Dodana bo samo še ena koordinata. Tridimenzionalne risbe je težko izvesti, zato se bom omejil na en vektor, ki ga bom zaradi preprostosti odložil od izvora:

Kaj 3D vektor prostora edina pot razširiti v ortonormalni osnovi:
, kjer so koordinate vektorja (števila) v dani bazi.

Primer s slike: . Poglejmo, kako tukaj delujejo pravila vektorskih dejanj. Najprej pomnožimo vektor s številko: (rdeča puščica), (zelena puščica) in (magenta puščica). Drugič, tukaj je primer dodajanja več, v tem primeru treh vektorjev: . Vektor vsote se začne na začetni točki odhoda (začetek vektorja) in konča na končni točki prihoda (konec vektorja).

Vsi vektorji tridimenzionalnega prostora so seveda tudi brezplačni, poskusite miselno odložiti vektor s katere koli druge točke in razumeli boste, da njegova širitev "ostane z njim".

Podobno kot ohišje letala, poleg pisanja različice z oklepaji se pogosto uporabljajo: bodisi .

Če v razširitvi manjka en (ali dva) koordinatni vektor, se namesto tega postavijo ničle. Primeri:
vektor (natančno ) - zapisati ;
vektor (natančno ) - zapisati ;
vektor (natančno ) - zapisati .

Osnovni vektorji so zapisani takole:

Tukaj je morda vse minimalno teoretično znanje, potrebno za reševanje problemov analitične geometrije. Morda je izrazov in definicij preveč, zato priporočam lutkam, da ponovno preberejo in razumejo te informacije. In vsakemu bralcu bo koristno, da se občasno obrne na osnovno lekcijo za boljšo asimilacijo gradiva. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormalna osnova, vektorska dekompozicija - ti in drugi koncepti se bodo pogosto uporabljali v nadaljevanju. Ugotavljam, da materiali spletnega mesta niso dovolj za opravljanje teoretičnega preizkusa, kolokvija iz geometrije, saj skrbno šifriram vse izreke (poleg brez dokazov) - na škodo znanstvenega sloga predstavitve, vendar plus za vaše razumevanje predmeta. Za podrobne teoretične informacije vas prosim, da se priklonite profesorju Atanasyanu.

Zdaj pa preidimo na praktični del:

Najenostavnejši problemi analitične geometrije.
Dejanja z vektorji v koordinatah

Naloge, ki bodo obravnavane, je zelo zaželeno, da se naučite, kako jih popolnoma samodejno rešiti, in formule zapomniti, tega se niti ne spomnite namerno, sami si ga bodo zapomnili =) To je zelo pomembno, saj drugi problemi analitične geometrije temeljijo na najpreprostejših elementarnih primerih in bo moteče porabiti dodaten čas za prehranjevanje piškov. Ni vam treba zapenjati zgornjih gumbov na srajco, marsikaj vam je znano iz šole.

Predstavitev gradiva bo potekala vzporedno – tako za letalo kot za vesolje. Iz razloga, da vse formule ... boste videli sami.

Kako najti vektor z dvema točkama?

Če sta podani dve točki ravnine in, ima vektor naslednje koordinate:

Če sta podani dve točki v prostoru in, ima vektor naslednje koordinate:

to je, iz koordinat konca vektorja morate odšteti ustrezne koordinate vektorski začetek.

vaja: Za iste točke zapišite formule za iskanje koordinat vektorja. Formule na koncu lekcije.

Primer 1

Glede na dve točki v ravnini in . Poiščite vektorske koordinate

rešitev: po ustrezni formuli:

Alternativno se lahko uporabi naslednji zapis:

Esteti se bodo odločili takole:

Osebno sem navajen na prvo različico plošče.

odgovor:

Glede na pogoj ni bilo treba zgraditi risbe (kar je značilno za probleme analitične geometrije), a da bi lutkam razložil nekaj točk, ne bom preveč len:

Treba je razumeti razlika med koordinatami točke in vektorskimi koordinatami:

Koordinate točke so običajne koordinate v pravokotnem koordinatnem sistemu. Mislim, da vsi vedo, kako narisati točke na koordinatni ravnini od 5. do 6. razreda. Vsaka točka ima strogo mesto na ravnini in jih ni mogoče nikamor premakniti.

Koordinate istega vektorja je v tem primeru njegova razširitev glede na osnovo. Vsak vektor je brezplačen, zato ga po želji ali potrebi zlahka odstavimo od neke druge točke v ravnini (da se izognemo zmedi, ga preimenujemo, na primer v ). Zanimivo je, da za vektorje sploh ne morete graditi osi, pravokotni koordinatni sistem, potrebujete samo osnovo, v tem primeru ortonormalno osnovo ravnine.

Zdi se, da so zapisi koordinat točk in vektorskih koordinat podobni: , in občutek za koordinate absolutno drugačen, in te razlike bi se morali dobro zavedati. Ta razlika seveda velja tudi za prostor.

Dame in gospodje, polnimo roke:

Primer 2

a) Dane točke in . Poiščite vektorje in .
b) Točke so podane in . Poiščite vektorje in .
c) Dane točke in . Poiščite vektorje in .
d) Točke so podane. Poiščite vektorje .

Mogoče dovolj. To so primeri za samostojno odločitev, poskusite jih ne zanemariti, obrestovalo se bo ;-). Risbe niso potrebne. Rešitve in odgovori na koncu lekcije.

Kaj je pomembno pri reševanju problemov analitične geometrije? Pomembno je, da ste IZJEMNO PREVIDNI, da se izognete mojstrski napaki »dva plus dva je enaka nič«. Vnaprej se opravičujem, če sem naredil napako =)

Kako najti dolžino segmenta?

Dolžina, kot je bilo že omenjeno, je označena z znakom modula.

Če sta podani dve točki ravnine in, potem lahko dolžino segmenta izračunamo s formulo

Če sta podani dve točki v prostoru in, potem lahko dolžino segmenta izračunamo s formulo

Opomba: Formule bodo ostale pravilne, če se zamenjajo ustrezne koordinate: in , vendar je prva možnost bolj standardna

Primer 3

rešitev: po ustrezni formuli:

odgovor:

Zaradi jasnosti bom naredil risbo

Oddelek - ni vektor, in ga seveda ne morete premakniti nikamor. Poleg tega, če dokončate risbo v merilu: 1 enota. \u003d 1 cm (dve tetradni celici), potem lahko odgovor preverite z navadnim ravnilom z neposrednim merjenjem dolžine segmenta.

Da, rešitev je kratka, vendar je v njej nekaj pomembnih točk, ki bi jih rad pojasnil:

Najprej v odgovoru nastavimo dimenzijo: "enote". Pogoj ne pove, KAJ je, milimetri, centimetri, metri ali kilometri. Zato bo splošna formulacija matematično kompetentna rešitev: "enote" - skrajšano kot "enote".

Drugič, ponovimo šolsko gradivo, ki je uporabno ne samo za obravnavano težavo:

Bodi pozoren na pomemben tehnični trik – vzeti množitelj izpod korena. Kot rezultat izračunov smo dobili rezultat in dober matematični slog vključuje odvzem množitelja izpod korena (če je mogoče). Postopek izgleda bolj podrobno: . Seveda, če pustite odgovor v obrazcu, ne bo napaka – vsekakor pa gre za napako in tehten argument za zbadanje s strani učitelja.

Tu so še drugi pogosti primeri:

Pogosto se pod korenom dobi na primer dovolj veliko število. Kako biti v takih primerih? Na kalkulatorju preverimo, ali je število deljivo s 4:. Da, popolnoma razdelite tako: . Ali pa je mogoče število spet deliti s 4? . V to smer: . Zadnja številka števila je liha, tako da tretjič deljenje s 4 očitno ni mogoče. Poskušam deliti z devet: . Kot rezultat:
Pripravljen.

zaključek:če pod korenom dobimo celo število, ki ga ni mogoče izluščiti, potem poskušamo faktor vzeti izpod korena - na kalkulatorju preverimo, ali je število deljivo s: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , itd

Pri reševanju različnih problemov se pogosto najdejo korenine, vedno poskušajte izvleči faktorje izpod korena, da bi se izognili nižjemu rezultatu in nepotrebnim težavam z dodeljevanjem svojih rešitev po pripombi učitelja.

Ponovimo istočasno kvadraturo korenin in drugih potenk:

Pravila za dejanja s stopnjami v splošni obliki lahko najdete v šolskem učbeniku algebre, vendar mislim, da je vse ali skoraj vse jasno že iz navedenih primerov.

Naloga za samostojno rešitev s segmentom v prostoru:

Primer 4

Dane točke in . Poiščite dolžino segmenta.

Rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Kako najti dolžino vektorja?

Če je podan ravninski vektor, se njegova dolžina izračuna po formuli.

Če je podan vektor prostora, se njegova dolžina izračuna po formuli .

Te formule (kot tudi formule za dolžino segmenta) je enostavno izpeljati z uporabo razvpitega Pitagorovega izreka.

Standardna definicija: "Vektor je usmerjen odsek." To je običajno meja diplomantovega znanja o vektorjih. Kdo potrebuje nekakšne "usmerjene segmente"?

Toda v resnici, kaj so vektorji in zakaj so?
Vremenska napoved. "Veter severozahodni, hitrost 18 metrov na sekundo." Strinjam se, pomembna sta tudi smer vetra (od kod piha) in modul (to je absolutna vrednost) njegove hitrosti.

Količine, ki nimajo smeri, se imenujejo skalarji. Masa, delo, električni naboj niso usmerjeni nikamor. Zanje je značilna le številčna vrednost - "koliko kilogramov" ali "koliko joulov".

Fizikalne količine, ki imajo ne le absolutno vrednost, ampak tudi smer, imenujemo vektorske količine.

Hitrost, sila, pospešek - vektorji. Zanje je pomembno "koliko" in pomembno je "kje". Na primer, pospešek prostega pada je usmerjen proti zemeljskemu površju, njegova vrednost pa je 9,8 m/s 2 . Vektorske količine so tudi impulz, jakost električnega polja, indukcija magnetnega polja.

Ne pozabite, da so fizikalne količine označene s črkami, latinskimi ali grškimi. Puščica nad črko označuje, da je količina vektor:

Tukaj je še en primer.
Avto se premika od točke A do točke B. Končni rezultat je njegovo premikanje od točke A do točke B, torej premikanje z vektorjem .

Zdaj je jasno, zakaj je vektor usmerjen segment. Bodite pozorni, konec vektorja je tam, kjer je puščica. Dolžina vektorja se imenuje dolžina tega segmenta. Označeno: oz

Doslej smo delali s skalarnimi količinami, po pravilih aritmetike in elementarne algebre. Vektorji so nov koncept. To je še en razred matematičnih predmetov. Imajo svoja pravila.

Nekoč sploh nismo vedeli za številke. Spoznavanje z njimi se je začelo v osnovnih razredih. Izkazalo se je, da je mogoče številke med seboj primerjati, seštevati, odštevati, množiti in deliti. Izvedeli smo, da obstajata številka ena in številka nič.
Sedaj spoznavamo vektorje.

Koncepta "večje kot" in "manj kot" za vektorje ne obstajata - navsezadnje so lahko njihove smeri različne. Primerjate lahko samo dolžine vektorjev.

Toda koncept enakosti za vektorje je.
Enakomerno so vektorji, ki imajo enako dolžino in isto smer. To pomeni, da se vektor lahko premakne vzporedno s seboj na katero koli točko v ravnini.
samski imenujemo vektor, katerega dolžina je 1. Nič - vektor, katerega dolžina je enaka nič, to pomeni, da njegov začetek sovpada s koncem.

Najbolj priročno je delati z vektorji v pravokotnem koordinatnem sistemu - tistem, v katerem rišemo grafe funkcij. Vsaka točka v koordinatnem sistemu ustreza dvema številkama - njenima koordinatama x in y, absciso in ordinato.
Vektor je podan tudi z dvema koordinatama:

Tu so koordinate vektorja zapisane v oklepajih - v x in v y.
Najti jih je enostavno: koordinata konca vektorja minus koordinata njegovega začetka.

Če so podane vektorske koordinate, se njegova dolžina najde s formulo

Vektorski dodatek

Obstajata dva načina za dodajanje vektorjev.

ena . pravilo paralelograma. Za dodajanje vektorjev in , postavimo izvore obeh na isto točko. Dopolnimo paralelogram in narišemo diagonalo paralelograma iz iste točke. To bo vsota vektorjev in .

Se spomnite pravljice o labodju, raku in ščuki? Zelo so se trudili, a vozička niso nikoli premaknili. Konec koncev je bila vektorska vsota sil, ki so jih uporabili na vozičku, enaka nič.

2. Drugi način dodajanja vektorjev je pravilo trikotnika. Vzemimo iste vektorje in . Začetek drugega dodamo koncu prvega vektorja. Zdaj pa povežimo začetek prvega in konec drugega. To je vsota vektorjev in .

Po istem pravilu lahko dodate več vektorjev. Pritrdimo jih enega za drugim, nato pa povežemo začetek prvega s koncem zadnjega.

Predstavljajte si, da greste od točke A do točke B, od B do C, od C do D, nato do E in nato do F. Končni rezultat teh dejanj je premik od A do F.

Pri dodajanju vektorjev dobimo:

Vektorsko odštevanje

Vektor je usmerjen nasprotno vektorju. Dolžini vektorjev in sta enaki.

Zdaj je jasno, kaj je odštevanje vektorjev. Razlika vektorjev in je vsota vektorja in vektorja .

Pomnožite vektor s številom

Če vektor pomnožimo s številom k, dobimo vektor, katerega dolžina je k-krat drugačna od dolžine. Z vektorjem je sosmerno usmerjen, če je k večji od nič, in nasprotno usmerjen, če je k manjši od nič.

Pik produkt vektorjev

Vektorje je mogoče pomnožiti ne samo s številkami, ampak tudi drug z drugim.

Skalarni produkt vektorjev je produkt dolžin vektorjev in kosinusa kota med njimi.

Bodite pozorni - pomnožili smo dva vektorja in dobili smo skalar, torej številko. Na primer, v fiziki je mehansko delo enako skalarnemu produktu dveh vektorjev - sile in premika:

Če sta vektorja pravokotna, je njihov pikovni produkt enak nič.
In tako je skalarni produkt izražen s koordinatami vektorjev in:

Iz formule za skalarni produkt lahko najdete kot med vektorji:

Ta formula je še posebej priročna pri stereometriji. Na primer, v 14. problemu profila USE pri matematiki morate najti kot med sekajočimi se črtami ali med črto in ravnino. Problem 14 se pogosto rešuje večkrat hitreje kot klasični.

V šolskem učnem načrtu pri matematiki se preučuje le skalarni produkt vektorjev.
Izkazalo se je, da poleg skalarja obstaja tudi vektorski produkt, ko kot rezultat množenja dveh vektorjev dobimo vektor. Kdor opravi izpit iz fizike, ve, kaj sta Lorentzova in Amperova sila. Formule za iskanje teh sil vključujejo natančno vektorske produkte.

Vektorji so zelo uporabno matematično orodje. V to se boste prepričali že na prvem tečaju.

V tem članku bomo z vami začeli razpravo o eni "čarobni palici", ki vam bo omogočila, da številne težave v geometriji zmanjšate na preprosto aritmetiko. Ta "palica" vam lahko precej olajša življenje, še posebej, če se počutite negotovi pri gradnji prostorskih figur, prerezov itd. Vse to zahteva določeno domišljijo in praktične spretnosti. Metoda, ki jo bomo začeli obravnavati tukaj, vam bo omogočila, da se skoraj popolnoma abstrahirate od vseh vrst geometrijskih konstrukcij in sklepanja. Metoda se imenuje "koordinatna metoda". V tem članku bomo obravnavali naslednja vprašanja:

1. Koordinatna ravnina
2. Točke in vektorji na ravnini
3. Sestavljanje vektorja iz dveh točk
4. Dolžina vektorja (razdalja med dvema točkama).
5. Koordinate srednje točke
6. Pik produkt vektorjev
7. Kot med dvema vektorjema

Mislim, da ste že uganili, zakaj se koordinatna metoda tako imenuje? Res je, da je dobil tako ime, saj ne deluje z geometrijskimi predmeti, temveč z njihovimi številčnimi značilnostmi (koordinatami). In sama transformacija, ki omogoča prehod iz geometrije v algebro, je sestavljena iz uvedbe koordinatnega sistema. Če je bila prvotna figura ravna, so koordinate dvodimenzionalne, če pa je figura tridimenzionalna, potem so koordinate tridimenzionalne. V tem članku bomo obravnavali samo dvodimenzionalni primer. In glavni namen članka je naučiti vas, kako uporabljati nekatere osnovne tehnike koordinatne metode (včasih se izkažejo za uporabne pri reševanju problemov v planimetriji v delu B enotnega državnega izpita). Naslednja dva razdelka na to temo sta posvečena razpravi o metodah reševanja problemov C2 (problem stereometrije).

Kje bi bilo logično začeti razpravo o koordinatni metodi? Verjetno s konceptom koordinatnega sistema. Spomni se, ko si jo prvič srečal. Zdi se mi, da ste v 7. razredu, ko ste izvedeli za obstoj linearne funkcije npr. Naj vas spomnim, da ste jo zgradili točko za točko. Ali se spomniš? Izbrali ste poljubno število, ga nadomestili v formulo in izračunali na ta način. Na primer, če, potem, če, potem itd. Kaj ste dobili kot rezultat? In prejeli ste točke s koordinatami: in. Nato ste narisali »križ« (koordinatni sistem), na njem izbrali merilo (koliko celic boste imeli v enem segmentu) in na njem označili točke, ki ste jih prejeli, ki ste jih nato povezali z ravno črto, nastalo črto je graf funkcije.

Nekaj ​​stvari vam je treba malo bolj podrobno razložiti:

1. Izbereš en sam segment zaradi udobja, tako da se vse lepo in kompaktno prilega sliki

2. Predpostavlja se, da gre os od leve proti desni, os pa od spodaj navzgor

3. Sekajo se pod pravim kotom, točka njunega presečišča pa se imenuje izhodišče. Označena je s črko.

4. V zapisu koordinate točke je na primer na levi v oklepaju koordinate točke vzdolž osi, na desni pa ob osi. Zlasti preprosto pomeni, da je točka

5. Če želite nastaviti katero koli točko na koordinatni osi, morate določiti njene koordinate (2 številki)

6. Za katero koli točko, ki leži na osi,

7. Za katero koli točko, ki leži na osi,

8. Os se imenuje os x

9. Os se imenuje os y

Zdaj pa z vami naredimo naslednji korak: označite dve točki. Ti dve točki povežite s črto. In postavimo puščico, kot da rišemo segment od točke do točke: to pomeni, da bomo naš segment usmerili!

Se spomnite, kakšno je drugo ime za usmerjeni segment? Tako je, temu se reče vektor!

Torej, če povežemo piko s piko, in začetek bo točka A, konec pa točka B, potem dobimo vektor. Tudi to konstrukcijo ste naredili v 8. razredu, se spomnite?

Izkazalo se je, da lahko vektorje, tako kot točke, označimo z dvema številkama: te številke imenujemo koordinate vektorja. Vprašanje: ali menite, da je dovolj, da poznamo koordinate začetka in konca vektorja, da najdemo njegove koordinate? Izkazalo se je, da ja! In to je zelo enostavno narediti:

Ker je v vektorju točka začetek in konec, ima vektor naslednje koordinate:

Na primer, če, potem koordinate vektorja

Zdaj pa naredimo nasprotno, poiščimo koordinate vektorja. Kaj moramo za to spremeniti? Da, zamenjati morate začetek in konec: zdaj bo začetek vektorja v točki, konec pa v točki. Nato:

Poglejte natančno, kakšna je razlika med vektorji in? Njihova edina razlika so znaki v koordinatah. Nasproti so. To dejstvo je zapisano takole:

Včasih, če ni posebej navedeno, katera točka je začetek vektorja in katera konec, potem vektorji niso označeni z dvema velikima črkama, ampak z eno malo črko, na primer: itd.

Zdaj pa malo praksa in poiščite koordinate naslednjih vektorjev:

izpit:

Zdaj rešite težavo nekoliko težje:

Vektorski torus z on-cha-scrap na točki ima co-or-di-on-you. Najdi-di-te abs-cis-su točke.

Vse isto je precej prozaično: Naj so koordinate točke. Potem

Sistem sem sestavil tako, da sem določil, katere so koordinate vektorja. Potem ima točka koordinate. Zanima nas abscisa. Potem

odgovor:

Kaj še lahko storite z vektorji? Da, skoraj vse je enako kot pri navadnih številih (razen tega, da ne morete deliti, lahko pa pomnožite na dva načina, od katerih bomo enega obravnavali tukaj malo kasneje)

1. Vektorje je mogoče zlagati med seboj
2. Vektorje lahko odštejemo drug od drugega
3. Vektorje je mogoče pomnožiti (ali deliti) s poljubnim številom, ki ni nič
4. Vektorje je mogoče množiti med seboj

Vse te operacije imajo precej vizualno geometrijsko predstavitev. Na primer, pravilo trikotnika (ali paralelograma) za seštevanje in odštevanje:

Vektor se raztegne ali skrči ali spremeni smer, ko ga pomnožimo ali delimo s številom:

Vendar nas bo tukaj zanimalo vprašanje, kaj se zgodi s koordinatami.

1. Pri seštevanju (odštevanju) dveh vektorjev seštevamo (odštevamo) njune koordinate element za elementom. to je:

2. Pri množenju (deljenju) vektorja s številom se vse njegove koordinate pomnožijo (delijo) s tem številom:

Na primer:

· Najdi-di-vsoto ko-or-di-nat stoletja do-ra.

Najprej poiščimo koordinate vsakega od vektorjev. Oba imata isti izvor – izhodiščno točko. Njihovi konci so različni. Nato, . Zdaj izračunamo koordinate vektorja. Potem je vsota koordinat nastalega vektorja enaka.

odgovor:

Zdaj sami rešite naslednjo težavo:

· Poišči vsoto koordinat vektorja

Preverimo:

Poglejmo zdaj naslednji problem: imamo dve točki na koordinatni ravnini. Kako najti razdaljo med njima? Naj bo prva točka in druga. Označimo razdaljo med njima kot . Za jasnost naredimo naslednjo risbo:

Kaj sem naredil? Najprej sem povezal točke in ter iz točke narisal tudi črto, vzporedno z osjo, in iz točke narisal črto, vzporedno z osjo. Ali sta se na neki točki križala in tvorila čudovito figuro? Zakaj je čudovita? Ja, ti in jaz vemo skoraj vse o pravokotnem trikotniku. No, Pitagorejev izrek, zagotovo. Željeni segment je hipotenuza tega trikotnika, segmenti pa kraki. Kakšne so koordinate točke? Da, na sliki jih je enostavno najti: Ker so segmenti vzporedni z osemi in je njihovo dolžino enostavno najti: če označujemo dolžine segmentov skozi, potem

Zdaj pa uporabimo Pitagorov izrek. Poznamo dolžine nog, našli bomo hipotenuzo:

Tako je razdalja med dvema točkama korenska vsota kvadratov razlik iz koordinat. Ali - razdalja med dvema točkama je dolžina odseka, ki ju povezuje. Preprosto je videti, da razdalja med točkami ni odvisna od smeri. Nato:

Iz tega sklepamo tri zaključke:

Malo se vadimo pri izračunu razdalje med dvema točkama:

Na primer, če, potem je razdalja med in je

Ali pa pojdimo drugače: poiščite koordinate vektorja

In poiščite dolžino vektorja:

Kot vidite, je isto!

Zdaj malo vadite sami:

Naloga: poišči razdaljo med danimi točkami:

Preverimo:

Tukaj je še nekaj težav za isto formulo, čeprav zvenijo nekoliko drugače:

1. Najdi-di-te kvadrat dolžine veke-to-ra.

2. Nai-di-te kvadrat dolžine veke do-ra

Predvidevam, da jih zlahka obvladaš? Preverimo:

1. In to je za pozornost) Prej smo že našli koordinate vektorjev: . Potem ima vektor koordinate. Kvadrat njegove dolžine bo:

2. Poiščite koordinate vektorja

Potem je kvadrat njegove dolžine

Nič zapletenega, kajne? Enostavna aritmetika, nič več.

Naslednjih ugank ni mogoče nedvoumno razvrstiti, so bolj za splošno učenost in sposobnost risanja preprostih slik.

1. Najdi-di-tiste sinuse kota na-klo-na-od-reza, poveži-eno-n-to točko z abscisno osjo.

in

Kako bomo to naredili tukaj? Najti morate sinus kota med in osjo. In kje lahko iščemo sinus? Tako je, v pravokotnem trikotniku. Kaj moramo torej storiti? Zgradite ta trikotnik!

Ker so koordinate točke in, je odsek enak in segment. Najti moramo sinus kota. Naj vas spomnim, da je sinus torej razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo

Kaj nam preostane? Poiščite hipotenuzo. To lahko storite na dva načina: s pitagorejskim izrekom (noge so znane!) ali s formulo za razdaljo med dvema točkama (pravzaprav enako kot prva metoda!). Grem po drugi poti:

odgovor:

Naslednja naloga se vam bo zdela še lažja. Ona - na koordinatah točke.

2. naloga. Od točke se per-pen-di-ku-lar spusti na os abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Naredimo risbo:

Osnova navpičnice je točka, v kateri seka os x (os) zame je to točka. Slika prikazuje, da ima koordinate: . Zanima nas abscisa - torej komponenta "X". Ona je enaka.

odgovor: .

3. naloga. Pod pogoji prejšnjega problema poiščite vsoto razdalj od točke do koordinatnih osi.

Naloga je praviloma elementarna, če veste, kolikšna je razdalja od točke do osi. Ti veš? Upam, a vas vseeno spomnim:

Torej, na svoji risbi, ki se nahaja nekoliko višje, sem že upodobil eno takšno pravokotno? Katera os je? na os. In kakšna je potem njegova dolžina? Ona je enaka. Zdaj sami narišite pravokotno na os in poiščite njeno dolžino. Bo enakovreden, kajne? Potem je njihova vsota enaka.

odgovor: .

4. naloga. V pogojih 2. problema poiščite ordinato točke, ki je simetrična točki okoli osi x.

Mislim, da intuitivno razumete, kaj je simetrija? Ima ga zelo veliko predmetov: številne zgradbe, mize, letala, številne geometrijske oblike: krogla, valj, kvadrat, romb, itd. V grobem, simetrijo lahko razumemo takole: figura je sestavljena iz dveh (ali več) enake polovice. Ta simetrija se imenuje aksialna. Kaj je potem os? Točno to je črta, vzdolž katere je mogoče lik, relativno rečeno, "razrezati" na enake polovice (na tej sliki je os simetrije ravna):

Zdaj pa se vrnimo k naši nalogi. Vemo, da iščemo točko, ki je simetrična glede na os. Potem je ta os simetrična os. Torej moramo označiti točko tako, da os razreže segment na dva enaka dela. Poskusite sami označiti takšno točko. Zdaj pa primerjaj z mojo rešitvijo:

Ste storili enako? dobro! Na najdeni točki nas zanima ordinata. Ona je enaka

odgovor:

Zdaj mi povej, potem ko sem za trenutek razmišljal, kakšna bo abscisa točke, simetrične s točko A glede na os y? Kakšen je vaš odgovor? Pravilen odgovor: .

Na splošno lahko pravilo zapišemo takole:

Točka, simetrična točki okoli osi x, ima koordinate:

Točka, simetrična točki okoli osi y, ima koordinate:

No, zdaj je pa res strašljivo. nalogo: Poiščite koordinate točke, ki je simetrična glede na izhodišče. Najprej pomislite sami, potem pa poglejte mojo risbo!

odgovor:

zdaj problem paralelograma:

5. naloga: Točke so ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Najdi-dee-te ali-dee-on-tu točke.

To težavo lahko rešite na dva načina: logično in koordinatno metodo. Najprej bom uporabil koordinatno metodo, nato pa vam bom povedal, kako se lahko odločite drugače.

Povsem jasno je, da je abscisa točke enaka. (leži na pravokotnici, potegnjeni iz točke na os x). Najti moramo ordinato. Izkoristimo dejstvo, da je naša figura paralelogram, kar pomeni, da. Poiščite dolžino segmenta s formulo za razdaljo med dvema točkama:

Spustimo navpičnico, ki povezuje točko z osjo. Točka presečišča je označena s črko.

Dolžina segmenta je enaka. (poiščite težavo sami, kjer smo razpravljali o tem trenutku), potem bomo s Pitagorovim izrekom našli dolžino segmenta:

Dolžina segmenta je popolnoma enaka njegovi ordinati.

odgovor: .

Druga rešitev (prinesla bom samo sliko, ki jo ponazarja)

Napredek rešitve:

1. Porabite

2. Poiščite koordinate in dolžino točke

3. Dokaži to.

Še en problem dolžine reza:

Točke so-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Poiščite dolžino njegove srednje črte, par-ral-lel-noy.

Se spomnite, kakšna je srednja črta trikotnika? Potem je za vas ta naloga osnovna. Če se ne spomnite, vas bom spomnil: srednja črta trikotnika je črta, ki povezuje središča nasprotnih strani. Je vzporedna z osnovo in enaka njeni polovici.

Osnova je segment. Prej smo morali iskati njeno dolžino, enaka je. Potem je dolžina srednje črte pol krajša in enaka.

odgovor: .

Komentar: Ta problem je mogoče rešiti na drug način, ki ga bomo obravnavali malo kasneje.

Medtem pa vam ponujamo nekaj nalog, vadite na njih, so precej preproste, a pomagajo, da se s koordinatno metodo »spravite v roko«!

1. Točke se pojavljajo-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Poiščite dolžino njegove srednje črte.

2. Točke in yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Najdi-dee-te ali-dee-on-tu točke.

3. Poiščite dolžino iz reza, povežite drugo točko in

4. Poiščite-di-te območje za-rdeče-shen-noy fi-gu-ry na ravnini ko-or-di-nat-noy.

5. Krog s središčem na-cha-le ko-or-di-nat poteka skozi točko. Najdi-de-te njene ra-di-brke.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, describe-san-noy v bližini pravega kota-no-ka, vrhovi-shi-ny nečesa-ro-go imajo so-or - di-na-ti so-od-odgovora-ampak

rešitve:

1. Znano je, da je srednja črta trapeza enaka polovici vsote njegovih osnov. Osnova je enaka, vendar osnova. Potem

odgovor:

2. Najlažji način za rešitev tega problema je, da opazite (pravilo paralelograma). Izračunaj koordinate vektorjev in ni težko: . Pri dodajanju vektorjev se dodajo koordinate. Potem ima koordinate. Točka ima enake koordinate, saj je začetek vektorja točka s koordinatami. Zanima nas ordinata. Ona je enaka.

odgovor:

3. Takoj ukrepamo po formuli za razdaljo med dvema točkama:

odgovor:

4. Poglej sliko in povej, med katerima dvema figurama je »stisnjeno« osenčeno območje? Je stisnjena med dvema kvadratoma. Potem je površina želene figure enaka površini velikega kvadrata minus površini majhnega. Stran majhnega kvadrata je segment, ki povezuje točke in njegova dolžina je

Potem je površina majhnega kvadrata

Enako naredimo z velikim kvadratom: njegova stranica je segment, ki povezuje točke, njegova dolžina pa je enaka

Potem je površina velikega kvadrata

Območje želene figure najdemo s formulo:

odgovor:

5. Če ima krog središče izvora in gre skozi točko, bo njegov polmer natančno enak dolžini segmenta (narišite risbo in razumeli boste, zakaj je to očitno). Poiščite dolžino tega segmenta:

odgovor:

6. Znano je, da je polmer kroga, opisanega okoli pravokotnika, enak polovici njegove diagonale. Najdimo dolžino katere koli od dveh diagonal (navsezadnje sta v pravokotniku enaki!)

odgovor:

No, ti je uspelo vse? Ni bilo tako težko ugotoviti, kajne? Tukaj obstaja samo eno pravilo - da lahko naredite vizualno sliko in preprosto "preberete" vse podatke iz nje.

Ostalo nam je zelo malo. Dobesedno sta še dve točki, o katerih bi rad razpravljal.

Poskusimo rešiti to preprosto težavo. Pustite dve točki in dajte. Poiščite koordinate sredine segmenta. Rešitev tega problema je naslednja: naj bo točka želena sredina, potem ima koordinate:

to je: koordinate sredine odseka = aritmetična sredina ustreznih koordinat koncev segmenta.

To pravilo je zelo preprosto in študentom običajno ne povzroča težav. Poglejmo, v kakšnih težavah in kako se uporablja:

1. Poiščite-di-te ali-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

2. Točke so yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Najdi-di-te ali-di-na-tu točke re-re-se-che-niya njegovega dia-go-on-lei.

3. Poiščite-di-te abs-cis-su središča kroga, opišite-san-noy blizu pravokotnika-no-ka, vrhovi-shi-imamo nekaj-ro-go co-or-di- na-ti so-od-vet-stvenno-ampak.

rešitve:

1. Prva naloga je samo klasika. Takoj ukrepamo tako, da določimo sredino segmenta. Ima koordinate. Ordinata je enaka.

odgovor:

2. Zlahka je videti, da je dani štirikotnik paralelogram (celo romb!). To lahko dokažete sami, tako da izračunate dolžine stranic in jih primerjate med seboj. Kaj vem o paralelogramu? Njegove diagonale so prepolovljene s presečiščem! Aha! Kaj je torej točka presečišča diagonal? To je sredina katere koli diagonale! Izbral bom predvsem diagonalo. Potem ima točka koordinate. Ordinata točke je enaka.

odgovor:

3. Kakšno je središče kroga, opisanega okoli pravokotnika? Sovpada s točko presečišča njenih diagonal. Kaj veš o diagonalah pravokotnika? So enaki in presečišče je razdeljeno na polovico. Naloga je bila skrčena na prejšnjo. Vzemite na primer diagonalo. Potem, če je središče opisanega kroga, potem je sredina. Iščem koordinate: Abscisa je enaka.

odgovor:

Zdaj pa malo vadite sami, na vsako težavo bom dal le odgovore, da se lahko sami preverite.

1. Nai-di-te ra-di-us krog-no-sti, opiši-san-noy blizu trikotnika-no-ka, vrhovi nekoga-ro-go imajo ko-or-di -no gospodov

2. Poiščite-di-te ali-di-na-tu središče kroga, opišite san-noy blizu trikotnika-no-ka, vrhovi-shi-imamo nekaj-ro-go koordinate

3. Kakšen ra-di-y-sa naj bo krog s središčem v točki, da se dotika osi abs-ciss?

4. Najdi-di-te ali-di-na-to točko ponovnega ponovnega se-če-inga osi in od-reza, poveži-nya-yu-th-to točko in

odgovori:

Se je vse izšlo? Resnično upam na to! Zdaj - zadnji pritisk. Zdaj bodite še posebej previdni. Gradivo, ki ga bom zdaj razložil, ni relevantno le za težave s preprosto koordinatno metodo v delu B, ampak se nahaja tudi v celotnem problemu C2.

Katere od svojih obljub še nisem izpolnil? Se spomnite, katere operacije z vektorji sem obljubil uvesti in katere sem na koncu uvedel? Ali sem prepričan, da nisem ničesar pozabil? Pozabil! Pozabil sem razložiti, kaj pomeni množenje vektorjev.

Vektor lahko pomnožite z vektorjem na dva načina. Glede na izbrano metodo bomo dobili predmete drugačne narave:

Vektorski produkt je precej težaven. Kako to storiti in zakaj je to potrebno, bomo razpravljali z vami v naslednjem članku. In pri tem se bomo osredotočili na skalarni produkt.

Obstajata že dva načina, ki nam omogočata izračun:

Kot ste uganili, bi moral biti rezultat enak! Torej, poglejmo najprej prvi način:

Točkovni produkt prek koordinat

Poiščite: - skupni zapis za pikčasti produkt

Formula za izračun je naslednja:

Se pravi, pik produkt = vsota produktov koordinat vektorjev!

Primer:

Najdi-dee-te

rešitev:

Poiščite koordinate vsakega od vektorjev:

Skalarni produkt izračunamo po formuli:

odgovor:

Vidite, popolnoma nič zapletenega!

No, zdaj pa poskusite sami:

Najdi-di-te skalarno-noe pro-od-ve-de-nie stoletja do jarka in

Vam je uspelo? Mogoče je opazil majhen trik? Preverimo:

Vektorske koordinate, kot v prejšnji nalogi! Odgovor: .

Poleg koordinate obstaja še en način za izračun skalarnega produkta, in sicer preko dolžin vektorjev in kosinusa kota med njimi:

Označuje kot med vektorjema in.

To pomeni, da je skalarni produkt enak produktu dolžin vektorjev in kosinusa kota med njimi.

Zakaj potrebujemo to drugo formulo, če imamo prvo, ki je veliko enostavnejša, vsaj kosinusov v njej ni. In potrebujemo ga, da lahko iz prve in druge formule razberemo, kako najti kot med vektorji!

Nato si zapomnite formulo za dolžino vektorja!

Potem, če te podatke vstavim v formulo pik, dobim:

Ampak drugače:

Torej, kaj imamo? Zdaj imamo formulo za izračun kota med dvema vektorjema! Včasih je za kratkost napisano tudi takole:

To pomeni, da je algoritem za izračun kota med vektorji naslednji:

1. Skozi koordinate izračunamo skalarni produkt
2. Poiščite dolžine vektorjev in jih pomnožite
3. Rezultat točke 1 delite z rezultatom točke 2

Vadimo s primeri:

1. Poiščite kot med vekami-to-ra-mi in. Odgovor navedite v stopinjah.

2. Pod pogoji prejšnjega problema poiščite kosinus med vektorjema

Naredimo to: pomagal vam bom rešiti prvi problem, drugega pa poskusite rešiti sami! Strinjam se? Potem pa začnimo!

1. Ti vektorji so naši stari prijatelji. Njihov skalarni produkt smo že upoštevali in je bil enak. Njihove koordinate so: , . Nato najdemo njihove dolžine:

Nato iščemo kosinus med vektorjema:

Kolikšen je kosinus kota? To je vogal.

odgovor:

No, zdaj pa sami rešite drugo težavo in potem primerjajte! Podal bom samo zelo kratko rešitev:

2. ima koordinate, ima koordinate.

Naj je kot med vektorji in, potem

odgovor:

Opozoriti je treba, da so naloge neposredno na vektorjih in metodi koordinat v delu B izpitne naloge precej redke. Vendar pa je veliko večino problemov C2 mogoče enostavno rešiti z uvedbo koordinatnega sistema. Zato lahko ta članek obravnavate kot temelj, na podlagi katerega bomo naredili precej zapletene konstrukcije, ki jih bomo potrebovali za reševanje kompleksnih problemov.

KOORDINATE IN VEKTORI. VMESNA STOPNJA

Ti in jaz nadaljujemo s preučevanjem metode koordinat. V zadnjem delu smo izpeljali številne pomembne formule, ki omogočajo:

1. Poiščite vektorske koordinate
2. Poiščite dolžino vektorja (druga možnost: razdalja med dvema točkama)
3. Dodajte, odštejte vektorje. Pomnožite jih z realnim številom
4. Poiščite sredino segmenta
5. Izračunajte pik produkt vektorjev
6. Poiščite kot med vektorji

Seveda celotna koordinatna metoda ne sodi v teh 6 točk. Podlaga tako znanost, kot je analitična geometrija, s katero se boste seznanili na univerzi. Želim samo zgraditi temelj, ki vam bo omogočil reševanje težav v eni državi. izpit. Naloge dela B smo ugotovili v Zdaj je čas, da se premaknemo na kvalitativno novo raven! Ta članek bo posvečen metodi za reševanje tistih problemov C2, pri katerih bi bilo smiselno preiti na koordinatno metodo. Ta razumnost je določena s tem, kaj je treba najti v problemu, in kakšna številka je navedena. Torej bi uporabil koordinatno metodo, če so vprašanja:

1. Poiščite kot med dvema ravninama
2. Poiščite kot med premico in ravnino
3. Poiščite kot med dvema črtama
4. Poiščite razdaljo od točke do ravnine
5. Poiščite razdaljo od točke do premice
6. Poiščite razdaljo od premice do ravnine
7. Poiščite razdaljo med dvema črtama

Če je figura, podana v pogoju problema, telo vrtenja (kroglica, valj, stožec ...)

Primerne številke za koordinatno metodo so:

1. kockasto
2. Piramida (trikotna, štirikotna, šesterokotna)

Tudi po mojih izkušnjah je neprimerno uporabljati koordinatno metodo za:

1. Iskanje območij odsekov
2. Izračuni prostornine teles

Vendar je treba takoj opozoriti, da so tri »neugodne« situacije za koordinatno metodo v praksi precej redke. Pri večini nalog lahko postane vaš rešitelj, še posebej, če niste zelo močni v tridimenzionalnih konstrukcijah (ki so včasih precej zapletene).

Katere so vse številke, ki sem jih navedel zgoraj? Niso več ravne, kot so kvadrat, trikotnik, krog, ampak obsežne! V skladu s tem moramo upoštevati ne dvodimenzionalni, ampak tridimenzionalni koordinatni sistem. Zgrajena je precej enostavno: poleg abscise in ordinat bomo uvedli še eno os, aplikativno os. Slika shematično prikazuje njihov relativni položaj:

Vsi so medsebojno pravokotni, sekajo se v eni točki, ki jo bomo imenovali izvor. Abscisna os bo, kot prej, označena, ordinatna os - , in uvedena aplikativna os - .

Če je bila prej vsako točko na ravnini označena z dvema številkama - abscisa in ordinata, potem je vsaka točka v prostoru že opisana s tremi številkami - abscisa, ordinata, aplikacija. Na primer:

V skladu s tem je abscisa točke enaka, ordinata je , in applicate je .

Včasih se abscisa točke imenuje tudi projekcija točke na abscisno os, ordinata je projekcija točke na ordinatno os, aplikacija pa je projekcija točke na apliktno os. V skladu s tem, če je podana točka, potem točka s koordinatami:

imenujemo projekcija točke na ravnino

imenujemo projekcija točke na ravnino

Postavlja se naravno vprašanje: ali so vse formule, izpeljane za dvodimenzionalni primer, veljavne v prostoru? Odgovor je pritrdilen, so pač in imajo enak videz. Za majhno podrobnost. Mislim, da ste že uganili, katero. V vse formule bomo morali dodati še en izraz, ki je odgovoren za aplikativno os. Namreč.

1. Če sta podani dve točki: , potem:

• Vektorske koordinate:
• Razdalja med dvema točkama (ali vektorska dolžina)
• Sredina segmenta ima koordinate

2. Če sta podana dva vektorja: in, potem:

• Njihov pikčasti produkt je:
• Kosinus kota med vektorjema je:

Vendar pa prostor ni tako preprost. Kot razumete, dodajanje ene dodatne koordinate uvaja veliko raznolikost v spekter figur, ki "živijo" v tem prostoru. In za nadaljnjo pripoved moram uvesti nekaj, grobo rečeno, "posplošitve" ravne črte. Ta "posplošitev" bo letalo. Kaj veš o letalu? Poskusite odgovoriti na vprašanje, kaj je letalo? Zelo težko je reči. Vendar si vsi intuitivno predstavljamo, kako izgleda:

Grobo rečeno, to je nekakšen neskončen "list", potisnjen v vesolje. "Neskončnost" je treba razumeti, da se ravnina razteza v vse smeri, to pomeni, da je njeno območje enako neskončnosti. Vendar ta razlaga "na prstih" ne daje niti najmanjšega pojma o strukturi letala. In to nas bo zanimalo.

Spomnimo se enega od osnovnih aksiomov geometrije:

• Ravna črta poteka skozi dve različni točki na ravnini, poleg tega samo eno:

Ali njegov analog v vesolju:

Seveda se spomnite, kako iz dveh danih točk izpeljati enačbo premice, to sploh ni težko: če ima prva točka koordinate: in druga, bo enačba premice naslednja:

Skozi to ste šli v 7. razredu. V prostoru enačba premice izgleda takole: imamo dve točki s koordinatami: , potem ima enačba premice, ki poteka skozi njiju, obliko:

Na primer, črta poteka skozi točke:

Kako je treba to razumeti? To je treba razumeti takole: točka leži na premici, če njene koordinate izpolnjujejo naslednji sistem:

Enačba premice nas ne bo preveč zanimala, pozorni pa moramo biti na zelo pomemben koncept usmerjevalnega vektorja premice. - kateri koli vektor, ki ni nič, ki leži na dani premici ali je vzporeden z njo.

Oba vektorja sta na primer smerna vektorja ravne črte. Naj je točka, ki leži na ravni črti, in je njen usmerjevalni vektor. Nato lahko enačbo ravne črte zapišemo v naslednji obliki:

Še enkrat, enačba ravne črte me ne bo preveč zanimala, ampak res moram, da se spomnite, kaj je smerni vektor! Ponovno: to je KATER koli neničelni vektor, ki leži na premici ali je vzporeden z njo.

Dvigniti tritočkovna enačba ravnine ni več tako nepomembno in običajno ni zajeto v srednješolskem tečaju. Ampak zaman! Ta tehnika je ključnega pomena, ko se zatečemo k koordinatni metodi za reševanje kompleksnih problemov. Vendar predvidevam, da ste polni želje po učenju česa novega? Poleg tega boste lahko navdušili svojega učitelja na univerzi, ko se bo izkazalo, da že znate uporabljati tehniko, ki se običajno preučuje v okviru analitične geometrije. Pa začnimo.

Enačba ravnine se ne razlikuje preveč od enačbe ravne črte na ravnini, in sicer ima obliko:

nekatera števila (niso vsa enaka nič), ampak spremenljivke, na primer: itd. Kot lahko vidite, se enačba ravnine ne razlikuje veliko od enačbe ravne črte (linearna funkcija). Vendar se spomnite, kaj smo se prepirali z vami? Rekli smo, da če imamo tri točke, ki ne ležijo na eni ravni črti, potem je enačba ravnine enolično obnovljena iz njih. Ampak kako? Poskušal ti bom razložiti.

Ker je enačba ravnine:

In točke pripadajo tej ravnini, potem bi morali pri zamenjavi koordinat vsake točke v enačbo ravnine dobiti pravilno identiteto:

Tako je treba rešiti tri enačbe že z neznankami! Dilema! Vendar pa lahko vedno domnevamo, da (za to moramo deliti z). Tako dobimo tri enačbe s tremi neznankami:

Vendar takšnega sistema ne bomo rešili, ampak zapisali kriptični izraz, ki izhaja iz njega:

Enačba ravnine, ki poteka skozi tri dane točke

\[\levo| (\begin(matrika)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(matrika)) \desno| = 0\]

Ustavi se! Kaj je še to? Zelo nenavaden modul! Vendar predmet, ki ga vidite pred seboj, nima nič opraviti z modulom. Ta predmet se imenuje determinanta tretjega reda. Odslej, ko se boste ukvarjali z metodo koordinat na ravnini, boste pogosto naleteli prav na te determinante. Kaj je determinanta tretjega reda? Čudno je, da je samo številka. Še vedno je treba razumeti, katero specifično število bomo primerjali z determinanto.

Najprej zapišimo determinanto tretjega reda v bolj splošni obliki:

Kje so nekatere številke. Poleg tega s prvim indeksom mislimo na številko vrstice, z indeksom pa na številko stolpca. Na primer, to pomeni, da je podana številka na presečišču druge vrstice in tretjega stolpca. Postavimo si naslednje vprašanje: kako natančno bomo izračunali tako determinanto? Se pravi, s katero konkretno številko jo bomo primerjali? Za determinanto natančno tretjega reda obstaja hevristično (vizualno) pravilo trikotnika, ki izgleda takole:

1. Zmnožek elementov glavne diagonale (od zgornje leve proti spodnjemu desnemu) produkt elementov, ki tvorijo prvi trikotnik "pravokotno" na glavno diagonalo, produkt elementov, ki tvorijo drugi trikotnik "pravokotno" na glavno diagonala
2. Zmnožek elementov sekundarne diagonale (od zgornje desne proti spodnji levi) produkt elementov, ki tvorijo prvi trikotnik "pravokotno" na sekundarno diagonalo, produkt elementov, ki tvorijo drugi trikotnik "pravokotno" na sekundarna diagonala
3. Potem je determinanta enaka razliki med vrednostmi, dobljenimi na koraku in

Če vse to zapišemo s številkami, dobimo naslednji izraz:

Vendar vam ni treba zapomniti metode izračuna v tej obliki, dovolj je, da obdržite trikotnike v glavi in ​​samo idejo, kaj se čemu doda in kaj se od česa nato odšteje).

Ponazorimo metodo trikotnika s primerom:

1. Izračunaj determinanto:

Ugotovimo, kaj dodamo in kaj odštejemo:

Izrazi, ki imajo "plus":

To je glavna diagonala: produkt elementov je

Prvi trikotnik, "pravokotno na glavno diagonalo: produkt elementov je

Drugi trikotnik, "pravokotno na glavno diagonalo: produkt elementov je

Dodamo tri številke:

Izrazi z "minusom"

To je stranska diagonala: produkt elementov je

Prvi trikotnik, "pravokotno na sekundarno diagonalo: produkt elementov je

Drugi trikotnik, "pravokotno na sekundarno diagonalo: produkt elementov je

Dodamo tri številke:

Vse, kar je treba narediti, je, da od vsote plus členov odštejemo vsoto minus členov:

V to smer,

Kot lahko vidite, pri izračunu determinant tretjega reda ni nič zapletenega in nadnaravnega. Preprosto je pomembno, da se spomnimo na trikotnike in da ne delamo aritmetičnih napak. Zdaj poskusite sami izračunati:

Preverimo:

1. Prvi trikotnik, pravokoten na glavno diagonalo:
2. Drugi trikotnik, pravokoten na glavno diagonalo:
3. Vsota plus pogojev:
4. Prvi trikotnik, pravokoten na stransko diagonalo:
5. Drugi trikotnik, pravokoten na stransko diagonalo:
6. Vsota izrazov z minusom:
7. Vsota plus členov minus vsota minus členov:

Tukaj je še nekaj determinant za vas, sami izračunajte njihove vrednosti in primerjajte z odgovori:

odgovori:

No, se je vse ujemalo? Super, potem lahko greš naprej! Če obstajajo težave, potem je moj nasvet naslednji: na internetu je veliko programov za izračun determinante na spletu. Vse kar potrebujete je, da pripravite svojo determinanto, jo sami izračunate in nato primerjate s tem, kar izračuna program. In tako naprej, dokler se rezultati ne začnejo ujemati. Prepričan sem, da ta trenutek ne bo dolgo trajal!

Zdaj pa se vrnimo k determinanti, ki sem jo zapisal, ko sem govoril o enačbi ravnine, ki poteka skozi tri dane točke:

Vse kar morate storiti je, da neposredno izračunate njegovo vrednost (po metodi trikotnika) in rezultat nastavite na nič. Seveda, ker so spremenljivke, boste dobili izraz, ki je odvisen od njih. Prav ta izraz bo enačba ravnine, ki poteka skozi tri dane točke, ki ne ležijo na eni ravni črti!

Ponazorimo to s preprostim primerom:

1. Sestavi enačbo ravnine, ki poteka skozi točke

Sestavimo determinanto za te tri točke:

Poenostavitev:

Zdaj ga izračunamo neposredno po pravilu trikotnikov:

\[(\left| (\begin(matrika)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(matrika)) \ desno| = \left((x + 3) \desno) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Tako je enačba ravnine, ki poteka skozi točke:

Zdaj poskusite sami rešiti eno težavo, nato pa bomo o njej razpravljali:

2. Poišči enačbo ravnine, ki poteka skozi točke

No, zdaj pa se pogovorimo o rešitvi:

Naredimo determinanto:

In izračunaj njegovo vrednost:

Potem ima enačba ravnine obliko:

Ali, če zmanjšamo za, dobimo:

Zdaj dve nalogi za samokontrolo:

1. Sestavite enačbo ravnine, ki poteka skozi tri točke:

odgovori:

Se je vse ujemalo? Še enkrat, če obstajajo določene težave, potem je moj nasvet naslednji: vzamete tri točke iz glave (z veliko stopnjo verjetnosti ne bodo ležale na eni ravni črti), na njih zgradite ravnino. In potem se preveri na spletu. Na primer na spletnem mestu:

Vendar s pomočjo determinant ne bomo zgradili le enačbe ravnine. Ne pozabite, rekel sem vam, da za vektorje ni definiran le produkt pik. Obstaja tudi vektor, pa tudi mešani izdelek. In če bo skalarni produkt dveh vektorjev število, bo vektorski produkt dveh vektorjev vektor in ta vektor bo pravokoten na dane:

Poleg tega bo njegov modul enak površini paralelograma, zgrajenega na vektorjih in. Ta vektor bomo potrebovali za izračun razdalje od točke do premice. Kako lahko izračunamo navzkrižni produkt vektorjev in če so podane njihove koordinate? Na pomoč nam spet priskoči determinanta tretjega reda. Preden pa preidem na algoritem za izračun navzkrižnega produkta, moram narediti majhno lirično digresijo.

Ta odmik se nanaša na osnovne vektorje.

Shematično so prikazani na sliki:

Zakaj mislite, da se imenujejo osnovne? Dejstvo je, da:

Ali pa na sliki:

Veljavnost te formule je očitna, ker:

vektorski izdelek

Zdaj lahko začnem predstavljati navzkrižni izdelek:

Vektorski produkt dveh vektorjev je vektor, ki se izračuna po naslednjem pravilu:

Zdaj pa dajmo nekaj primerov izračunavanja navzkrižnega produkta:

Primer 1: Poiščite navzkrižni produkt vektorjev:

Rešitev: naredim determinanto:

In izračunam:

Zdaj, od pisanja preko baznih vektorjev, se bom vrnil k običajnemu vektorskemu zapisu:

V to smer:

Zdaj pa poskusi.

pripravljeni? Preverimo:

In tradicionalno dva naloge za nadzor:

1. Poiščite navzkrižni produkt naslednjih vektorjev:
2. Poiščite navzkrižni produkt naslednjih vektorjev:

odgovori:

Mešani produkt treh vektorjev

Zadnja konstrukcija, ki jo potrebujem, je mešani produkt treh vektorjev. Tako kot skalar je število. Obstajata dva načina za izračun. - skozi determinanto, - skozi mešani produkt.

Recimo, da imamo tri vektorje:

Nato lahko mešani produkt treh vektorjev, označenih z, izračunamo kot:

1. - to pomeni, da je mešani produkt skalarni produkt vektorja in vektorski produkt dveh drugih vektorjev

Na primer, mešani produkt treh vektorjev je:

Poskusite ga izračunati sami z uporabo vektorskega produkta in se prepričajte, da se rezultati ujemajo!

In spet - dva primera za samostojno odločitev:

odgovori:

Izbira koordinatnega sistema

No, zdaj imamo vso potrebno osnovo znanja za reševanje kompleksnih stereometričnih problemov v geometriji. Vendar, preden nadaljujemo neposredno s primeri in algoritmi za njihovo reševanje, verjamem, da se bo koristno ustaviti na naslednjem vprašanju: kako natančno izberite koordinatni sistem za določeno figuro. Navsezadnje je izbira relativne lege koordinatnega sistema in figure v prostoru tista, ki bo na koncu določila, kako okorni bodo izračuni.

Spomnim vas, da v tem razdelku upoštevamo naslednje številke:

1. kockasto
2. Ravna prizma (trikotna, šestkotna ...)
3. Piramida (trikotna, štirikotna)
4. Tetraeder (enako kot trikotna piramida)

Za kvader ali kocko priporočam naslednjo konstrukcijo:

To pomeni, da bom figuro postavil "v kot". Kocka in škatla sta zelo dobri figuri. Zanje lahko vedno zlahka najdete koordinate njegovih vozlišč. Na primer, če (kot je prikazano na sliki)

potem so koordinate vrha:

Seveda se vam tega ni treba spomniti, vendar je zaželeno, da se spomnite, kako najbolje postaviti kocko ali pravokotno škatlo.

ravna prizma

Prizma je bolj škodljiva figura. V prostoru ga lahko razporedite na različne načine. Vendar menim, da je najboljša možnost naslednja:

Trikotna prizma:

To pomeni, da eno od stranic trikotnika v celoti postavimo na os, eno od oglišč pa sovpada z izvorom.

Šestkotna prizma:

To pomeni, da eno od vozlišč sovpada z izvorom, ena od stranic pa leži na osi.

Štirikotna in šesterokotna piramida:

Situacija, podobna kocki: združimo dve strani osnove s koordinatnimi osemi, eno od oglišč združimo z izhodiščem. Edina majhna težava bo izračunati koordinate točke.

Za šesterokotno piramido - enako kot za šesterokotno prizmo. Glavna naloga bo spet iskanje koordinat oglišča.

Tetraeder (trikotna piramida)

Situacija je zelo podobna tisti, ki sem jo dal za trikotno prizmo: eno točko sovpada z izhodiščem, ena stran leži na koordinatni osi.

No, zdaj sva ti in jaz končno blizu tega, da začnemo reševati probleme. Iz tega, kar sem povedal na samem začetku članka, bi lahko sklepali: večina težav s C2 spada v 2 kategoriji: težave za kot in težave za razdaljo. Najprej bomo razmislili o težavah za iskanje kota. Po drugi strani so razdeljeni v naslednje kategorije (ko se kompleksnost povečuje):

Težave pri iskanju vogalov

1. Iskanje kota med dvema črtama
2. Iskanje kota med dvema ravninama

Oglejmo si te probleme zaporedno: začnimo z iskanjem kota med dvema ravnima črtama. Dajte no, spomnite se, ali sva z vami že reševala podobne primere? Se spomnite, saj smo že imeli nekaj podobnega ... Iskali smo kot med dvema vektorjema. Spomnim vas, če sta podana dva vektorja: in, potem kot med njima najdemo iz razmerja:

Zdaj imamo cilj - najti kot med dvema ravnima črtama. Obrnimo se na "plosko sliko":

Koliko kotov dobimo, ko se dve premici sekata? Že stvari. Res je, le dva od njih nista enaka, drugi pa so navpični (in zato z njimi sovpadajo). Kakšen kot naj torej upoštevamo kot med dvema ravnima: ali? Tukaj je pravilo: kot med dvema ravnima je vedno največ stopinj. To pomeni, da bomo iz dveh kotov vedno izbrali kot z najmanjšo mero stopinj. To pomeni, da je na tej sliki kot med obema črtama enak. Da se ne bi obremenjevali z iskanjem najmanjšega od obeh kotov vsakič, so zvit matematiki predlagali uporabo modula. Tako je kot med dvema ravnima črtama določen s formulo:

Kot pozoren bralec bi se moral zastaviti vprašanje: kje pravzaprav dobimo prav te številke, ki jih potrebujemo za izračun kosinusa kota? Odgovor: vzeli jih bomo iz smernih vektorjev črt! Tako je algoritem za iskanje kota med dvema črtama naslednji:

1. Uporabljamo formulo 1.

Ali bolj podrobno:

1. Iščemo koordinate smernega vektorja prve premice
2. Iščemo koordinate smernega vektorja druge vrstice
3. Izračunajte modul njihovega skalarnega produkta
4. Iščemo dolžino prvega vektorja
5. Iščemo dolžino drugega vektorja
6. Rezultate iz točke 4 pomnožite z rezultati točke 5
7. Rezultat točke 3 delimo z rezultatom točke 6. Dobimo kosinus kota med premici
8. Če nam ta rezultat omogoča, da natančno izračunamo kot, ga poiščemo
9. V nasprotnem primeru pišemo skozi arkosinus

No, zdaj je čas, da preidemo k nalogam: podrobno bom prikazal rešitev prvih dveh, na kratko bom predstavil rešitev še ene, na zadnji dve nalogi pa bom podal samo odgovore, morate vse izračune naredite sami.

Naloge:

1. V desni tet-ra-ed-re poiščite-di-te kot med vi-so-to tet-ra-ed-ra in me-di-a-noy bo-ko-how stranjo.

2. V desno-naprej šesti premog-pi-ra-mi-de so sto-ro-na-os-no-va-niya nekako enake, stranska rebra pa enaka, poiščite kot med ravnino črte in.

3. Dolžine vseh robov desnega štiri-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy so med seboj enake. Poiščite kot med ravnima črtama in če je od-re-zok - vi-tako dano pi-ra-mi-dy, je točka se-re-di-na njenem bo-ko- th rebru

4. Na robu kocke od-me-che- do točke, tako da Najdi-di-te kot med ravnima in

5. Točka - se-re-di-na robovih kocke Nai-di-te kot med ravnima črtama in.

Ni naključje, da sem naloge postavila v ta vrstni red. Medtem ko še niste imeli časa, da bi začeli krmariti po koordinatni metodi, bom sam analiziral najbolj "problematične" številke in vam prepustil, da se ukvarjate z najpreprostejšo kocko! Postopoma se morate naučiti delati z vsemi figurami, od teme do teme bom povečal kompleksnost nalog.

Začnimo reševati težave:

1. Nariši tetraeder, ga postavi v koordinatni sistem, kot sem predlagal prej. Ker je tetraeder pravilen, so vse njegove ploskve (vključno z osnovo) pravilni trikotniki. Ker nam dolžina stranice ni podana, jo lahko vzamem za enako. Mislim, da razumete, da kot v resnici ne bo odvisen od tega, koliko bo naš tetraeder "raztegnjen" ?. Narisal bom tudi višino in mediano v tetraedru. Spotoma mu bom narisal osnovo (tudi nam bo prišel prav).

Moram najti kot med in. Kaj vemo? Poznamo samo koordinate točke. Torej moramo najti več koordinat točk. Zdaj mislimo: točka je presečišče višin (ali simetral ali median) trikotnika. Pika je povišana točka. Točka je sredina segmenta. Nato moramo končno najti: koordinate točk: .

Začnimo z najpreprostejšim: točkovnimi koordinatami. Poglejte sliko: Jasno je, da je uporaba točke enaka nič (točka leži na ravnini). Njegova ordinata je enaka (ker je mediana). Težje je najti njeno absciso. Vendar je to enostavno narediti na podlagi Pitagorejskega izreka: Razmislite o trikotniku. Njegova hipotenuza je enaka in eden od krakov je enak Potem:

Končno imamo:

Zdaj poiščimo koordinate točke. Jasno je, da je njegova aplikacija spet enaka nič, njena ordinata pa je enaka kot pri točki, tj. Poiščimo njeno absciso. To se naredi precej trivialno, če se tega spomnite višine enakostraničnega trikotnika se delijo s presečiščem v razmerjuštetje od vrha. Ker:, potem je želena abscisa točke, enaka dolžini segmenta, enaka:. Tako so koordinate točke:

Poiščimo koordinate točke. Jasno je, da njena abscisa in ordinata sovpadata z absciso in ordinato točke. In aplikacija je enaka dolžini segmenta. - to je ena od nog trikotnika. Hipotenuza trikotnika je segment - krak. Išče se po razlogih, ki sem jih poudaril krepko:

Točka je sredina segmenta. Nato si moramo zapomniti formulo za koordinate sredine segmenta:

To je to, zdaj lahko iščemo koordinate vektorjev smeri:

No, vse je pripravljeno: vse podatke nadomestimo v formulo:

V to smer,

odgovor:

Takšnih "groznih" odgovorov se ne smete bati: za težave C2 je to običajna praksa. Najraje bi bil presenečen nad "lepim" odgovorom v tem delu. Prav tako, kot ste ugotovili, se praktično nisem zatekel k ničemur drugemu kot k Pitagorejevemu izreku in lastnosti višin enakostraničnega trikotnika. Se pravi, da sem rešil stereometrični problem, sem uporabil minimalno stereometrijo. Dobiček pri tem delno "ugasnejo" s precej okornimi izračuni. So pa precej algoritemski!

2. Nariši pravilno šesterokotno piramido skupaj s koordinatnim sistemom in njeno osnovo:

Najti moramo kot med črtami in. Tako se naša naloga zmanjša na iskanje koordinat točk: . Koordinate zadnjih treh bomo našli iz majhne risbe, koordinato oglišča pa bomo našli skozi koordinato točke. Veliko dela, vendar je treba začeti!

a) Koordinata: jasno je, da sta njen aplikat in ordinata nič. Poiščimo absciso. Če želite to narediti, razmislite o pravokotnem trikotniku. Aja, v njej poznamo samo hipotenuzo, ki je enaka. Poskusili bomo najti krak (ker je jasno, da nam bo dvakratna dolžina kraka dala absciso točke). Kako jo lahko iščemo? Spomnimo se, kakšno figuro imamo na dnu piramide? To je pravilen šesterokotnik. Kaj to pomeni? To pomeni, da so vse stranice in vsi koti enaki. Poiskati moramo en tak kotiček. Kaj idej? Idej je veliko, vendar obstaja formula:

Vsota kotov pravilnega n-kotnika je .

Tako je vsota kotov pravilnega šesterokotnika stopinj. Potem je vsak od kotov enak:

Poglejmo si še enkrat sliko. Jasno je, da je segment simetrala kota. Potem je kot stopinj. Nato:

Potem kje.

Torej ima koordinate

b) Sedaj zlahka najdemo koordinato točke: .

c) Poiščite koordinate točke. Ker njegova abscisa sovpada z dolžino segmenta, je enaka. Iskanje ordinate prav tako ni zelo težko: če povežemo točke in in označimo točko presečišča premice, recimo za. (naredite sami preprosto konstrukcijo). Potem je torej ordinata točke B enaka vsoti dolžin segmentov. Oglejmo si še enkrat trikotnik. Potem

Potem od Potem ima točka koordinate

d) Zdaj poiščite koordinate točke. Razmislite o pravokotniku in dokažite, da so koordinate točke:

e) Ostaja še najti koordinate oglišča. Jasno je, da njena abscisa in ordinata sovpadata z absciso in ordinato točke. Poiščimo aplikacijo. Od takrat. Razmislite o pravokotnem trikotniku. Glede na stanje problema bočni rob. To je hipotenuza mojega trikotnika. Potem je višina piramide noga.

Potem ima točka koordinate:

To je to, imam koordinate vseh točk, ki me zanimajo. Iščem koordinate usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:

Iščemo kot med temi vektorji:

odgovor:

Spet pri reševanju tega problema nisem uporabil nobenih prefinjenih trikov, razen formule za vsoto kotov pravilnega n-kotnika, pa tudi definicije kosinusa in sinusa pravokotnega trikotnika.

3. Ker nam spet niso podane dolžine robov v piramidi, jih bom štel za enake eni. Ker so torej VSI robovi, in ne le stranski, enaki drug drugemu, potem na dnu piramide in mene leži kvadrat, stranske ploskve pa so pravilni trikotniki. Upodobimo tako piramido, pa tudi njeno osnovo na ravnini, pri čemer označimo vse podatke, navedene v besedilu problema:

Iščemo kot med in. Ko bom iskal koordinate točk, bom naredil zelo kratke izračune. Morali jih boste "dešifrirati":

b) - sredina segmenta. Njene koordinate:

c) Dolžino odseka bom našel s pomočjo Pitagorovega izreka v trikotniku. Po Pitagorejevem izreku bom našel v trikotniku.

Koordinate:

d) - sredina segmenta. Njegove koordinate so

e) Vektorske koordinate

f) Vektorske koordinate

g) Iskanje kota:

Kocka je najpreprostejša figura. Prepričan sem, da lahko to ugotoviš sam. Odgovora na težavi 4 in 5 sta naslednja:

Iskanje kota med premico in ravnino

No, čas preprostih ugank je minil! Zdaj bodo primeri še težji. Če želimo najti kot med črto in ravnino, bomo ravnali na naslednji način:

1. S pomočjo treh točk sestavimo enačbo ravnine
   ,
   z uporabo determinante tretjega reda.
2. Z dvema točkama iščemo koordinate usmerjevalnega vektorja premice:
3. Za izračun kota med ravno črto in ravnino uporabimo formulo:

Kot lahko vidite, je ta formula zelo podobna tisti, ki smo jo uporabili za iskanje kotov med dvema črtama. Struktura desne strani je enaka, na levi pa zdaj iščemo sinus in ne kosinus, kot prej. No, dodano je bilo eno grdo dejanje - iskanje enačbe ravnine.

Ne odlagajmo reševanje primerov:

1. Os-no-va-ni-em naravnost-moja nagrada-smo-la-et-xia enaki-ampak-ubogi-ren-ny trikotnik-nick ti-s-to nagrado-smo enakovredni. Poiščite kot med ravno črto in ravnino

2. V pravokotnem pa-ral-le-le-pi-pe-de z zahoda Nai-di-te kot med premo in ravnino

3. V desni prizmi s šestimi premogovniki so vsi robovi enaki. Poiščite kot med ravno črto in ravnino.

4. V desnem trikotnem pi-ra-mi-de z os-but-va-ni-em od zahodnega kota rebra Nai-di-te, ob-ra-zo-van -ny ravnina os. -no-va-niya in naravnost-my, ki poteka skozi se-re-di-na reber in

5. Dolžini vseh robov desnega štirikotnega pi-ra-mi-dyja z vrhom sta med seboj enaki. Poiščite kot med ravno črto in ravnino, če je točka se-re-di-na bo-ko-in-th robu pi-ra-mi-dy.

Spet bom prva dva problema rešil podrobno, tretji - na kratko, zadnja dva pa prepuščam, da ga rešite sami. Poleg tega ste se že morali ukvarjati s trikotnimi in štirikotnimi piramidami, s prizmami pa še ne.

rešitve:

1. Nariši prizmo, pa tudi njeno osnovo. Združimo ga s koordinatnim sistemom in označimo vse podatke, ki so podani v stavki problema:

Opravičujem se za nekaj neupoštevanja proporcev, a za rešitev problema to pravzaprav ni tako pomembno. Letalo je le "zadnja stena" moje prizme. Dovolj je preprosto uganiti, da ima enačba takšne ravnine obliko:

Vendar pa se to lahko prikaže tudi neposredno:

Izberemo poljubne tri točke na tej ravnini: na primer .

Naredimo enačbo ravnine:

Vaja za vas: to determinanto izračunajte sami. Vam je uspelo? Potem ima enačba ravnine obliko:

Ali preprosto

V to smer,

Za rešitev primera moram najti koordinate usmerjevalnega vektorja premice. Ker je točka sovpadala z izhodiščem, bodo koordinate vektorja preprosto sovpadale s koordinatami točke.Za to najprej poiščemo koordinate točke.

Če želite to narediti, upoštevajte trikotnik. Z vrha narišemo višino (to je tudi mediana in simetrala). Ker je potem ordinata točke enaka. Da bi našli absciso te točke, moramo izračunati dolžino segmenta. Po Pitagorejevem izreku imamo:

Potem ima točka koordinate:

Pika je "dvignjena" na piki:

Nato koordinate vektorja:

odgovor:

Kot lahko vidite, pri reševanju takšnih težav ni nič bistveno težko. Pravzaprav "naravnost" figure, kot je prizma, nekoliko bolj poenostavi postopek. Zdaj pa pojdimo na naslednji primer:

2. Narišemo paralelepiped, vanj narišemo ravnino in ravno črto ter ločeno narišemo tudi njegovo spodnjo osnovo:

Najprej najdemo enačbo ravnine: koordinate treh točk, ki ležijo v njej:

(prvi dve koordinati dobimo na očiten način, zadnjo koordinato pa zlahka najdete s slike iz točke). Nato sestavimo enačbo ravnine:

Izračunamo:

Iščemo koordinate vektorja smeri: Jasno je, da njegove koordinate sovpadajo s koordinatami točke, kajne? Kako najti koordinate? To so koordinate točke, dvignjene vzdolž aplikativne osi za eno! . Nato iščemo želeni kot:

odgovor:

3. Nariši pravilno šesterokotno piramido, nato pa vanjo nariši ravnino in ravno črto.

Tukaj je celo problematično narisati ravnino, da ne omenjam rešitve tega problema, a koordinatni metodi je vseeno! Prav v vsestranskosti je njegova glavna prednost!

Letalo poteka skozi tri točke: . Iščemo njihove koordinate:

ena) . Koordinate za zadnji dve točki prikažite sami. Za to boste morali rešiti problem s šesterokotno piramido!

2) Sestavimo enačbo ravnine:

Iščemo koordinate vektorja: . (Spet si oglejte problem trikotne piramide!)

3) Iščemo kot:

odgovor:

Kot vidite, pri teh nalogah ni nič nadnaravno težkega. Samo s koreninami morate biti zelo previdni. Na zadnji dve težavi bom dal le odgovore:

Kot lahko vidite, je tehnika reševanja problemov povsod enaka: glavna naloga je najti koordinate vozlišč in jih nadomestiti v nekatere formule. Ostaja nam, da razmislimo o še enem razredu problemov za izračun kotov, in sicer:

Izračunavanje kotov med dvema ravninama

Algoritem rešitve bo naslednji:

1. Za tri točke iščemo enačbo prve ravnine:
2. Za ostale tri točke iščemo enačbo druge ravnine:
3. Uporabljamo formulo:

Kot vidite, je formula zelo podobna prejšnjima, s pomočjo katerih smo iskali kote med ravnimi črtami ter med premo in ravnino. Zato vam ne bo težko zapomniti tega. Skočimo takoj na problem:

1. Sto-ro-na podlagi desne trikotne prizme je enaka in diagonal stranske ploskve je enak. Poiščite kot med ravnino in ravnino osnove nagrade.

2. V desno naprej štiri-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de so vsi robovi nekoga enaki, poiščite sinus kota med ravnino in ravnino Ko-Stu, ki poteka skozi točka per-pen-di-ku-lyar-ampak naravnost-moj.

3. V pravilni prizmi s štirimi premogi so stranice os-no-va-nia enake, stranski robovi pa enaki. Na robu od-me-če-do točke, tako da. Poiščite kot med ravninama in

4. V desni štirikotni prizmi so stranice osnov enake, stranski robovi pa enaki. Na robu od-me-che-do točke, tako da Poiščite kot med ravninama in.

5. V kocki poiščite kosinus kota med ravninama in

Rešitve težav:

1. Narišem pravilno (na dnu - enakostranični trikotnik) trikotno prizmo in na njej označim ravnine, ki se pojavljajo v pogoju problema:

Najti moramo enačbe dveh ravnin: Osnovno enačbo dobimo trivialno: lahko naredite ustrezno determinanto za tri točke, vendar bom enačbo naredil takoj:

Zdaj poiščimo enačbo. Točka ima koordinate Točka - Ker - mediana in višina trikotnika, jo je enostavno najti po Pitagorejevem izreku v trikotniku. Potem ima točka koordinate: Poiščite aplikacijo točke. Če želite to narediti, razmislite o pravokotnem trikotniku

Nato dobimo naslednje koordinate: Sestavimo enačbo ravnine.

Izračunamo kot med ravninama:

odgovor:

2. Izdelava risbe:

Najtežje je razumeti, kakšna skrivnostna ravnina je, ki poteka skozi točko pravokotno. No, glavna stvar je, kaj je to? Glavna stvar je pozornost! Pravzaprav je črta pravokotna. Črta je tudi pravokotna. Potem bo ravnina, ki poteka skozi ti dve premici, pravokotna na premico in bo mimogrede šla skozi točko. Ta ravnina poteka tudi skozi vrh piramide. Potem želeno letalo - In letalo nam je že dano. Iščemo koordinate točk.

Skozi točko najdemo koordinato točke. Iz majhne risbe je enostavno razbrati, da bodo koordinate točke naslednje: Kaj je še ostalo za najti, da bi našli koordinate vrha piramide? Še vedno je treba izračunati njegovo višino. To se naredi z uporabo istega Pitagorejskega izreka: najprej to dokaži (trivialno iz majhnih trikotnikov, ki tvorijo kvadrat na dnu). Ker imamo po pogoju:

Zdaj je vse pripravljeno: koordinate vrhov:

Sestavimo enačbo ravnine:

Ste že strokovnjak za izračun determinant. Preprosto boste prejeli:

Ali drugače (če oba dela pomnožimo s korenom iz dveh)

Zdaj poiščimo enačbo ravnine:

(Niste pozabili, kako dobimo enačbo ravnine, kajne? Če ne razumete, od kod ta minus ena, potem se vrnite k definiciji enačbe ravnine! Vedno se je izkazalo pred tem da je moje letalo pripadalo izvoru!)

Izračunamo determinanto:

(Morda opazite, da je enačba ravnine sovpadala z enačbo premice, ki poteka skozi točke in! Pomislite, zakaj!)

Zdaj izračunamo kot:

Najti moramo sinus:

odgovor:

3. Težko vprašanje: kaj je pravokotna prizma, kaj menite? To vam je samo dobro znan paralelepiped! Risanje takoj! Osnove celo ne morete prikazati ločeno, tukaj je od nje malo koristi:

Ravnina, kot smo že omenili, je zapisana kot enačba:

Zdaj naredimo letalo

Takoj sestavimo enačbo ravnine:

Išče se kot

Zdaj pa odgovori na zadnji dve težavi:

No, zdaj je čas za oddih, saj sva ti in jaz super in sva opravila odlično delo!

Koordinate in vektorji. Napredni nivo

V tem članku bomo z vami razpravljali o drugem razredu problemov, ki jih je mogoče rešiti s koordinatno metodo: problemi na daljavo. Upoštevali bomo namreč naslednje primere:

1. Izračun razdalje med poševnimi črtami.

Dane naloge sem naročal, ko se njihova kompleksnost povečuje. Najlažje je najti razdalja od točke do ravnine in najtežje je najti razdalja med sekajočimi se črtami. Čeprav, seveda, nič ni nemogoče! Ne odlašajmo in takoj nadaljujmo k obravnavi prvega razreda težav:

Izračunavanje razdalje od točke do ravnine

Kaj potrebujemo za rešitev tega problema?

1. Koordinate točke

Torej, takoj ko dobimo vse potrebne podatke, uporabimo formulo:

Morali bi že vedeti, kako sestavimo enačbo ravnine iz prejšnjih problemov, ki sem jih analiziral v zadnjem delu. Takoj se lotimo posla. Shema je naslednja: 1, 2 - pomagam vam pri odločitvi, in v nekaj podrobnostih, 3, 4 - samo odgovor, sami se odločite in primerjate. Začelo!

Naloge:

1. Podane kocke. Dolžina roba kocke je Najdi-di-te razdaljo od se-re-di-ny od reza do ravne

2. Glede na desno-vil-naya štiri-you-rekh-premog-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe rob sto-ro-na os-no-va-nia je enak. Poiščite-di-tiste razdalje od točke do ravnine, kjer - se-re-di-na robovih.

3. V desnem trikotnem pi-ra-mi-de z os-but-va-ni-em je drugi rob enak in sto-ro-on os-no-vaniya je enak. Poiščite-di-te razdalje od vrha do ravnine.

4. V desni prizmi s šestimi premogovniki so vsi robovi enaki. Najdi-di-te razdalje od točke do ravnine.

rešitve:

1. Nariši kocko z enojnimi robovi, sestavi segment in ravnino, sredino segmenta označi s črko

.

Najprej začnimo z enostavnim: poiščite koordinate točke. Od takrat (ne pozabite na koordinate sredine segmenta!)

Zdaj sestavimo enačbo ravnine na treh točkah

\[\levo| (\begin(matrika)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(matrika)) \right| = 0\]

Zdaj lahko začnem iskati razdaljo:

2. Ponovno začnemo z risbo, na kateri označimo vse podatke!

Za piramido bi bilo koristno narisati njeno osnovo ločeno.

Tudi dejstvo, da rišem kot piščančja taca, nam ne bo preprečilo, da bi zlahka rešili ta problem!

Zdaj je enostavno najti koordinate točke

Ker so koordinate točke

2. Ker so koordinate točke a sredina segmenta, potem

Z lahkoto najdemo koordinate še dveh točk na ravnini, sestavimo enačbo ravnine in jo poenostavimo:

\[\levo| (\levo| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(matrika)) \right|) \right| = 0\]

Ker ima točka koordinate: , potem izračunamo razdaljo:

Odgovor (zelo redko!):

No, si razumel? Zdi se mi, da je tukaj vse tako tehnično kot v primerih, ki smo jih z vami obravnavali v prejšnjem delu. Zato sem prepričan, da če obvladate to snov, vam ne bo težko rešiti preostalih dveh težav. dal ti bom samo odgovore:

Izračunavanje razdalje od premice do ravnine

Pravzaprav tukaj ni nič novega. Kako se lahko premica in ravnina nahajata drug glede drugega? Imajo vse možnosti: sekati ali pa je ravna črta vzporedna z ravnino. Kakšna je po vašem mnenju razdalja od premice do ravnine, s katero se seka dana premica? Zdi se mi, da je jasno, da je takšna razdalja enaka nič. Nezanimiv primer.

Drugi primer je bolj zapleten: tu je razdalja že drugačna od nič. Ker pa je premica vzporedna z ravnino, je vsaka točka premice enako oddaljena od te ravnine:

V to smer:

In to pomeni, da je bila moja naloga zmanjšana na prejšnjo: iščemo koordinate katere koli točke na premici, iščemo enačbo ravnine, izračunamo razdaljo od točke do ravnine. Pravzaprav so takšne naloge na izpitu izjemno redke. Uspelo mi je najti samo en problem, podatki v njem pa so bili takšni, da koordinatna metoda zanj ni bila zelo uporabna!

Zdaj pa preidimo na drugo, veliko pomembnejšo vrsto težav:

Izračunavanje razdalje točke do črte

Kaj bomo potrebovali?

1. Koordinate točke, od katere iščemo razdaljo:

2. Koordinate katere koli točke, ki leži na ravni črti

3. Vektorske koordinate premice

Kakšno formulo uporabljamo?

Kaj vam pomeni imenovalec tega ulomka in bi moralo biti jasno: to je dolžina usmerjevalnega vektorja premice. Tukaj je zelo zapleten števec! Izraz pomeni modul (dolžino) vektorskega produkta vektorjev in Kako izračunati vektorski produkt, smo preučili v prejšnjem delu dela. Osvežite svoje znanje, zdaj nam bo zelo koristilo!

Tako bo algoritem za reševanje problemov naslednji:

1. Iščemo koordinate točke, od katere iščemo razdaljo:

2. Iščemo koordinate katere koli točke na premici, do katere iščemo razdaljo:

3. Gradnja vektorja

4. Gradimo smerni vektor premice

5. Izračunajte navzkrižni produkt

6. Iščemo dolžino nastalega vektorja:

7. Izračunaj razdaljo:

Imamo veliko dela in primeri bodo precej zapleteni! Zato zdaj osredotočite vso svojo pozornost!

1. Dana je desni trikotni pi-ra-mi-da z vrhom. Sto-ro-na os-no-va-niya pi-ra-mi-dy je enako, ti-so-ta je enako. Poišči-di-te razdalje od se-re-di-ny bo-ko-th roba do ravne črte, kjer sta točki in se-re-di-ny reber in so-od- vet -stven-ampak.

2. Dolžini reber in pravega kota-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sta enaki in Find-di-te razdalja od top-shi-ny do straight-my

3. V desni prizmi s šestimi premogovniki so vsi robovi roja enaki, najdi-di-tiste razdalje od točke do premice

rešitve:

1. Naredimo lepo risbo, na kateri označimo vse podatke:

Imamo veliko dela za vas! Najprej bi želel z besedami opisati, kaj bomo iskali in v kakšnem vrstnem redu:

1. Koordinate točk in

2. Koordinate točke

3. Koordinate točk in

4. Koordinate vektorjev in

5. Njihov navzkrižni produkt

6. Dolžina vektorja

7. Dolžina vektorskega produkta

8. Razdalja od do

No, čaka nas veliko dela! Zavihajmo rokave!

1. Da bi našli koordinate višine piramide, moramo poznati koordinate točke, njena aplikacija je nič, ordinata pa je enaka njeni abscisi. Končno smo dobili koordinate:

Koordinate točke

2. - sredina segmenta

3. - sredina segmenta

sredinska točka

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunaj vektorski produkt:

6. Dolžina vektorja: najlažje je zamenjati, da je segment srednja črta trikotnika, kar pomeni, da je enak polovici osnove. Torej to.

7. Upoštevamo dolžino vektorskega produkta:

8. Končno poiščite razdaljo:

Uf, to je vse! Iskreno, povem vam: reševanje tega problema s tradicionalnimi metodami (s konstrukcijami) bi bilo veliko hitreje. Ampak tukaj sem vse zmanjšal na že pripravljen algoritem! Mislim, da ti je algoritem rešitve jasen? Zato vas bom prosil, da preostala dva problema rešite sami. Primerjaj odgovore?

Še enkrat ponavljam: te probleme je lažje (hitreje) reševati s konstrukcijami, ne pa s koordinatno metodo. Ta način reševanja sem pokazal samo zato, da bi vam pokazal univerzalno metodo, ki vam omogoča, da »ničesar ne dokončate«.

Na koncu razmislite o zadnjem razredu težav:

Izračun razdalje med poševnimi črtami

Tu bo algoritem za reševanje problemov podoben prejšnjemu. kaj imamo:

3. Vsak vektor, ki povezuje točki prve in druge vrstice:

Kako najdemo razdaljo med vrsticami?

Formula je:

Števec je modul mešanega produkta (uvedli smo ga v prejšnjem delu), imenovalec pa kot v prejšnji formuli (modul vektorskega produkta usmerjevalnih vektorjev premic, razdalja med katerimi iščemo za).

na to vas bom spomnil

potem formulo za razdaljo lahko prepišemo kot:

To determinanto delimo z determinanto! Čeprav, če sem iskren, tukaj nisem razpoložen za šale! Ta formula je pravzaprav zelo okorna in vodi do precej zapletenih izračunov. Na tvojem mestu bi ga uporabil le kot zadnjo možnost!

Poskusimo rešiti nekaj težav z zgornjo metodo:

1. V desni trikotni prizmi so vsi robovi nekako enaki, poiščite razdaljo med ravnima in.

2. Glede na desno predhodno oblikovano trikotno prizmo so vsi robovi os-no-va-niya nekoga enaki Se-che-tion, ki potekajo skozi drugo rebro in se-re-di-nu rebra so yav-la-et-sya kvadrat-ra-tom. Najdi-di-te dis-sto-I-nie med naravnost-mi-mi in

Jaz se odločim za prvo, na podlagi tega pa za drugo!

1. Narišem prizmo in označim črte in

Koordinate točke C: potem

Koordinate točke

Vektorske koordinate

Koordinate točke

Vektorske koordinate

Vektorske koordinate

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(matrika)(*(20)(l))(\begin(matrika)(*(20)(c))0&1&0\end(matrika))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(matrika))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\konec(matrika))\konec(matrika)) \desno| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Upoštevamo navzkrižni produkt med vektorji in

\[\puščica nad desno (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(matrika)\\\begin(matrika)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(matrika)\end(matrika) \desno| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Zdaj upoštevamo njegovo dolžino:

odgovor:

Zdaj poskusite previdno opraviti drugo nalogo. Odgovor na to bo:.

Koordinate in vektorji. Kratek opis in osnovne formule

Vektor je usmerjen segment. - začetek vektorja, - konec vektorja.
Vektor je označen z oz.

Absolutna vrednost vektor - dolžina segmenta, ki predstavlja vektor. Označeno kot.

Vektorske koordinate:

,
kjer so konci vektorja \displaystyle a .

Vsota vektorjev: .

Produkt vektorjev:

Pik produkt vektorjev:

Skalarni produkt vektorjev je enak produktu njihovih absolutnih vrednosti in kosinusa kota med njimi:

PREOSTALI 2/3 ČLANKI SO NA VOLJO SAMO YOUCLEVER ŠTUDENTOM!

Postanite učenec YouCleverja,

Pripravite se na OGE ali UPORABO iz matematike po ceni "skodelice kave na mesec",

Prav tako dobite neomejen dostop do učbenika "YouClever", programa usposabljanja "100gia" (knjiga rešitev), neomejenega poskusnega USE in OGE, 6000 nalog z analizo rešitev in drugih storitev YouClever in 100gia.

1. Kaj je vektor?

2. Seštevanje vektorjev.

3. Enakost vektorjev.

4. Skalarni produkt dveh vektorjev in njegove lastnosti.

5. Lastnosti operacij nad vektorji.

6. Dokazi in reševanje problemov.

Eden od temeljnih konceptov sodobne matematike je vektor in njegova posplošitev - tenzor. Razvoj koncepta vektorja je bil izveden zaradi široke uporabe tega koncepta na različnih področjih matematike, mehanike, pa tudi v tehnologiji.

Konec preteklega in začetek sedanjega stoletja sta zaznamovala obsežen razvoj vektorskega računa in njegovih aplikacij. Ustvarjena je bila vektorska algebra in vektorska analiza, splošna teorija vektorskega prostora. Te teorije so bile uporabljene pri konstrukciji posebne in splošne teorije relativnosti, ki igrata izjemno pomembno vlogo v sodobni fiziki.

V skladu z zahtevami novega programa matematike je pojem vektorja postal eden vodilnih pojmov v šolskem predmetu matematike.

Kaj je vektor? Nenavadno je, da odgovor na to vprašanje predstavlja določene težave. Obstajajo različni pristopi k opredelitvi koncepta vektorja; Še več, tudi če se omejimo na elementarno-geometrijski pristop k konceptu vektorja, ki je za nas tukaj najbolj zanimiv, potem bodo tudi takrat na ta koncept različni pogledi. Seveda, ne glede na definicijo, je vektor - z elementarnega geometrijskega vidika - geometrijski predmet, za katerega sta značilni smer (tj. ravna črta, določena do vzporednosti in smer na njej) in dolžina. definicija je preveč splošna in ne povzroča posebnih geometrijskih predstavitev. V skladu s to splošno definicijo se lahko vzporedni prevod šteje za vektor. Dejansko bi lahko sprejeli naslednjo definicijo: "Vektor je kateri koli vzporedni prevod". Ta definicija je logično brezhibna in na njeni podlagi je mogoče zgraditi celotno teorijo delovanja na vektorje in razviti aplikacije te teorije. Vendar nas ta definicija kljub svoji popolni konkretnosti tudi tukaj ne more zadovoljiti, saj se nam zdi ideja vektorja kot geometrijske transformacije premalo jasna in daleč od fizičnih predstav o vektorskih količinah.

torej vektor imenujemo družina vseh vzporednih med seboj, enako usmerjenih in enako dolgih segmentov (slika 1).

Vektor je na risbah prikazan kot segment s puščico (torej ni upodobljena celotna družina segmentov, ki je vektor, ampak le eden od teh segmentov). Krepke latinske črke se uporabljajo za označevanje vektorjev v knjigah in člankih. a, b, c in tako naprej, v zvezkih in na tabli - latinske črke s pomišljajem na vrhu , Ista črka, vendar ne krepka, ampak svetla (in v zvezku in na tabli ista črka brez pomišljaja) označuje dolžino vektorja. Dolžina je včasih označena tudi z navpičnimi črtami - kot modul (absolutna vrednost) števila. Tako je dolžina vektorja a označeno z a ali jaz a I in v ročno napisanem besedilu dolžina vektorja a označeno z a ali jaz a I. V zvezi s predstavitvijo vektorjev v obliki segmentov (slika 2) je treba spomniti, da sta konca segmenta, ki predstavlja vektor, neenaka: en konec segmenta na drugega.

Razlikovati med začetkom in koncem vektorja (natančneje segmenta, ki predstavlja vektor).

Pogosto je konceptu vektorja dana druga definicija: usmerjen segment se imenuje vektor. V tem primeru se vektorji (t.j. usmerjeni segmenti), ki imajo enako dolžino in isto smer (slika 3), štejejo za enake.

Vektorji naj bi bili enako usmerjeni, če so njihove polpremice enako usmerjene.

Seštevanje vektorjev.

Vse našteto še ne naredi koncepta vektorja dovolj smiselnega in uporabnega. Koncept vektorja dobi več vsebine in bogate možnosti uporabe, ko uvedemo nekakšno »geometrijsko aritmetiko« - aritmetiko vektorjev, ki nam omogoča, da vektorje dodajamo, odštevamo in nad njimi izvajamo številne druge operacije. V zvezi s tem ugotavljamo, da navsezadnje pojem števila postane zanimiv šele z uvedbo aritmetičnih operacij, in ne sam po sebi.

Vsota vektorjev a in v s koordinatami a 1, a 2 in a 1, a 2 imenujemo vektor Z s koordinatami a 1 + v 1, a 2 + v 2, tiste. a(a 1; a 2) + v(v 1; v 2) = Z(a 1 + v 1; a 2 + v 2).
Posledica:
Da bi dokazali komutativnost vektorskega seštevanja na ravnini, moramo upoštevati primer. a in v - vektorji (slika 5).
Pustiti

1. Zgradimo paralelogram OASV: AM II OB, VN II OA.

Za dokaz asociativnosti smo od poljubne točke O odložili vektor OA = a, iz vektorja točke A AB = v in od točke do - vektorja sonce = s. Potem imamo: AB + BC = AC.
od koder sledi enakost a + (v + z) = (a + b)+ str. Upoštevajte, da zgornji dokaz sploh ne uporablja risbe. To je tipično (z nekaj spretnosti) za reševanje problemov z uporabo vektorjev. Poglejmo zdaj primer, ko so vektorji a in v usmerjeni v nasprotni smeri in imajo enake dolžine; takšni vektorji se imenujejo nasprotni. Naše pravilo seštevanja vektorjev vodi do dejstva, da je vsota dveh nasprotnih vektorjev "vektor", ki ima ničelno dolžino in ni smeri; ta »vektor« predstavlja »odsek ničelne dolžine«, tj. pika. Toda to je tudi vektor, ki se imenuje nič in je označen s simbolom 0.

Vektorska enakost.

Dva vektorja sta enaka, če sta združena z vzporednim prevodom. To pomeni, da obstaja vzporedni prevod, ki premakne začetek in konec enega vektorja na začetek oziroma konec drugega vektorja.

Iz te definicije enakosti vektorjev sledi, da so različni vektorji enako usmerjeni in enaki po absolutni vrednosti.

In obratno: če so vektorji enako usmerjeni in enaki po absolutni vrednosti, potem so enaki.

Dejansko naj vektorji AB in Z D - enako usmerjeni vektorji, enaki po absolutni vrednosti (slika 6). Vzporedni prenos, ki pripelje točko C v točko A, združuje polpremico CD s polovico AB, saj sta enako usmerjeni. In ker sta segmenta AB in CD enaka, je točka D poravnana s točko B, to pomeni, da vzporedni prenos prevede vektor CD na vektor AB. Torej vektorji AB in Z D sta enaka, kar je bilo treba dokazati.