Момент импульса материальной. Закон сохранения момента импульса: формула, применение и особенности

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L z , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение момента импульса L z не зависит от положения точки 0 на оси z .
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r i с некоторой скоростью v i . Скорость v i и импульс m i v i перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора m i v i . Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной точки относительно оси z равен

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных его точек:

Учитывая связь между линейной и угловой скоростями (v i = ωr i ), получим следующее выражение для момента импульса тела относительно неподвижной оси:

Т.е. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.
Продифференцировав выражение (4.12) по времени, получим:

(4.13)

Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело.
Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке (уравнение 4.8), и состоит в следующем:
если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется .
Действительно, если M = 0, то dL / dt = 0 , откуда

(4.14)

Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.
Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (уравнение 4.13), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси :
если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения , т.е. если M z = 0, то dL z / dt = 0, откуда

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.
Справедливость закона сохранения момента импульса относительно неподвижной оси вращения можно продемонстрировать на опыте со скамьей Жуковского. Скамьей Жуковского называется горизонтальная площадка, свободно вращающаяся без трения вокруг неподвижной вертикальной оси ОО 1 . Человек, стоящий или сидящий на скамье, держит в вытянутых руках гимнастические гантели и приводится во вращение вместе со скамьей вокруг оси ОО 1 с угловой скоростью ω 1 . Приближая гантели к себе, человек уменьшает момент инерции системы, а так как момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость ее вращения ω 2 возрастает. Тогда по закону сохранения момента импульса относительно оси ОО 1 можно записать:

Где J 0 - момент инерции человека и скамьи; 2mr 1 2 и 2mr 2 2 - моменты инерции гантелей в первом и втором положениях; m – масса одной гантели; r 1 , r 2 – расстояния от гантелей до оси ОО 1 .
Изменение момента инерции системы связано с изменением ее кинетической энергии:

Используя выражение для ω 2 , полученное из (4.16)

после преобразований получим:

Это изменение кинетической энергии системы численно равно работе, совершенной человеком при перемещении гантелей.
В табл. 4.2 сопоставлены основные физические величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение.

Таблица 4.2

Задача 1 .Шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии по закону φ = A + Bt 2 + Ct 3 , где В = 2 рад/с 2 , С = -0,5 рад/с 3 . Определить момент сил относительно оси вращения для момента времени t = 3 c.
Дано : R = 0,1 м; m = 5 кг; φ = A + Bt 2 + Ct 3 рад; В = 2 рад/с 2 ; С = -0,5 рад/с 3 ; t = 3 c.
Найти : M z .
Решение
Согласно уравнению динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

Ответ : M z = -0,1H*m.

Задача 2 . На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 20 см, момент инерции которого 0,15 кг*м 2 , намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом составляла 2,3 м (рис. 4.7). Определить: а) время опускания груза до пола; б) силу натяжения нити; в) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.
Дано : R = 0,2 м; J z = 0,15 кг*м 2 ; m = 0,5 кг; h = 2,3 м.
Найти : t, T, E k .

Решение
По закону сохранения энергии

Ответ : t = 2 с; Т = 4,31 Н; E k = 1,32 Дж.

Задачи для самостоятельного решения

1. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.
2. Полый тонкостенный цилиндр массой 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену 1,4 м/с, после удара 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.
3. К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определить кинетическую энергию через 4 с после начала действия силы.
4. Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав 50 оборотов, остановился. Работа сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: а) момент сил торможения; б) момент инерции вентилятора.
5. К ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м приложена постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения 2 Н*м. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с 2 .
6. С наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см.
7. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением 2 м/с 2 . Определить: а) момент инерции вала; б) массу вала.
8. Горизонтальная платформа массой 25 кг и радиусом 0,8 м вращается с частотой 18 об/мин. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3,5 кг*м 2 до 1 кг*м 2 .
9. Человек массой 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 об/мин, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определить, с какой частотой будет тогда вращаться платформа.
10. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО" (рис. 1.14).

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О:

М = Fp=Frsinα.

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

(3.1)
Единица момента силы - ньютон-метр (Н м).

Направление М можно найти с помощью правила правого винта.

Моментом импульса частицы называется векторное произведение радиус-вектора частицы на её импульс:

или в скалярном виде L = гPsinα

Эта величины векторная и совпадает по направлению с векторами ω.

§ 3.2 Момент инерции. Теорема Штейнера

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно оси враще­ния называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния её от оси:

I i =m i r i 2 (3.2)

Момент инерции тела относительно оси вращения называют сумму мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

(3.3)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

· Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной стержню

(3.6)

· Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(3.7)

· Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

(3.8)

· Момент инерции шара относительно диаметра

(3.9)

Рис.3.2

Приведенные формулы для моментов инерции тел даны при условии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует воспользоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

(3.11)

Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате (кг м 2).

Так, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

(3.12)

§ 3.3 Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Рассмотрим вначале материальную точку А массой m, движущуюся по окружности радиусом г (рис. 1.16). Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение или F = ma τ .

Используя соотношение a τ = βr , получаем F = m βr.

Умножим обе части написанного выше равенства на r.

Fr = m βr 2 . (3.13)

Левая часть выражения (3.13) является моментом силы: М= Fr. Правая часть представляет собой произведение углового ускорения β на момент инерции материальной точки А: J= m r 2 .

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции (основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки ):

М = β J или (3.14)

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

(3.15)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

или (3.16)

[ -момент импульса (или момент количества движения), МΔt - импульс момента сил (или импульс вращающего момента)].

Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

(3.17)

§ 3.4 Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим частый случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. При вращательном движении тела каждая его частица движется с линейной скоростью υ = ωr, .

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов

импульсов отдельных его частиц :

(3.18)

Изменение момента импульса равно импульсу момента сил:

dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему тела относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, т.е. М=0, то dL и векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени.

Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы сохраняется неизменной (закон сохранения момента импульса ):

d(Jω)=0 Jω=const (3.20)

Согласно закону сохранения момента импульса можно записать

J 1 ω 1 = J 2 ω 2 (3.21)

где J 1 и ω 1 - момент инерции и угловая скорость в начальный момент времени, а и J 2 и ω 2 – в момент времени t.

Из закона сохранения момента импульса следует, что при М=0 в процессе вращения системы вокруг оси любое изменение расстояния от тел до оси вращения должно сопровождаться изменением скорости их обращения вокруг этой оси. С увеличением расстояния скорость вращения уменьшается, с уменьшением – возрастает. Например, гимнаст, совершающий сальто, чтобы успеть сделать в воздухе несколько оборотов, во время прыжка свёртывается клубком. Балерина или фигуристка, кружась в пируэте, разводит руки если хочет замедлить вращение, и, наоборот, прижимает их к телу, когда старается вращаться как можно быстрее.

§ 3.5 Кинетическая энергия вращающегося тела

Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ i =ωr i , тогда кинетическая энергия точки

или

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J - момент инерции тела относительно оси вращения)

Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис), это плоское движение . В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

(3.23)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательно­го и вращательного движений видно, что мерой инертности при враща­тельном движении служит момент инерции тела.

§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела

При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

ΔA = ΔE или

Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем

ΔA =MΔφ (3.24)

Работа внешних сил при повороте твёрдого тела на конечный угол φ равна

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Момент импульса в классической механике

Связь между импульсом и моментом

Определение

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса :

где - радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, - импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

где - радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как где - импульс бесконечно малого точечного элемента системы).

Из определения момента импульса следует его аддитивность : как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

• Замечание: в принципе момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела итп).

Вычисление момента

Так как момент импульса определяется векторным произведением , он является псевдовектором , перпендикулярным обоим векторам и . Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр , знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на неё можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.

где - угол между и , определяемый так, чтобы поворот от к производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Запишем в виде , где - составляющая радиус-вектора, параллельная вектору импульса, а - аналогично, перпендикулярная ему. является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора , которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору и перпендикулярную ему . Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить ещё два выражения для .

Сохранение углового момента

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	…энергии
⊠ , , и -симметрии	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца	Относительность Лоренц-инвариантность	…4-импульса
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:

где - момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).

Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол , радиус-вектор частицы с номером изменятся на , а скорости - . Функция Лагранжа системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

С учетом , где - обобщенный импульс -той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде

Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения , совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:

где, - момент импульса системы. Ввиду произвольности , из равенства следует .

На орбитах момент импульса распределяется между собственным вращением планеты и момента импульса её орбитального движения:

Момент импульса в электродинамике

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле , канонический импульс не является инвариантным . Как следствие, канонический момент импульса тоже не инвариантен. Тогда берем реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»:

где - электрический заряд , - скорость света , - векторный потенциал . Таким образом, гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы в электромагнитном поле:

где - скалярный потенциал . Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса или «кинетический момент импульса» определяется:

Момент импульса в квантовой механике

Оператор момента

Вычисление момента импульса в нерелятивистской механике

Если имеется материальная точка массой , двигающаяся со скоростью и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором , то момент импульса вычисляется по формуле:

где - знак векторного произведения .

Чтобы рассчитать момент импульса тела , его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл :

Можно переписать это через плотность :

Есть произведение ее массы на скорость:

Аналогом импульса во вращательном движении является момент импульса, который является произведением момента инерции материальной точки на ее угловую скорость:

L = Iω, кг·м 2 ·с -1

Момент импульса является векторной величиной, по направлению совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса сохраняется в случае, если сумма всех моментов внешних сил равна нулю.

Наглядное использование момента импульса можно видеть во время выступления фигуристов, когда они начинают вращение с широко раставленными в стороны руками, постепенно смыкая руки, они увеличивают скорость своего вращения. Таким образом, они уменьшают свой момент инерции и увеличивают свою угловую скорость вращения. Таким образом, зная начальную угловую скорость вращения ω 0 и его момент инерции с разведенными I 0 и сомкнутыми руками I 1 , используя закон сохранения момента импульса, можно найти конечную угловую скорость ω 1:

I 0 ω 0 = I 1 ω 1 ω 1 = (I 0 ω 0)/I 1

Применяя закон сохранения импульса, можно достаточно просто рассчитывать параметры орбитального движения планет и космических аппаратов.

На странице "Закон всемирного тяготения " мы производили расчет линейной скорости движения Луны по орбите радиусом 392500 км (среднее значение). Но, как известно, Луна движется по эллиптической орбите, которая в перигее составляет 356400 км, а в апогее - 406700 км. Используя полученные знания, рассчитаем скорость Луны в перигее и апогее.

Исходные данные:

• r ср =392500 км;
• v ср =3600 км/ч;
• r п =356400 км;
• v п -?;
• r а =406700 км;
• v а -?

Согласно закону сохранения импульса, имеем следующе равенства:

I ср ω ср = I п ω п I ср ω ср = I а ω а

Поскольку диаметр Луны (3476 км) мал по сравнению с расстоянием до Земли, будем считать Луну материальной точкой, что значительно упростит расчеты, не оказав существенного влияния на их точность.

Моменты инерции для материальной точки будут равны:

I ср = mr ср 2 I п = mr п 2 I а = mr а 2

Угловые скорости:

ω ср = v ср /r ср ω п = v п /r п ω а = v а /r а

Проведем соответствующие подстановки в формулу закона сохранения импульса:

(mr ср 2)(v ср /r ср) = (mr п 2)(v п /r п) (mr ср 2)(v ср /r ср) = (mr а 2)(v а /r а)

Выполнив несложные алгебраичиские преобразования, получим:

V п = v ср ·(r ср /r п) v а = v ср ·(r ср /r а)

Подставляем числовые значения:

V п = 3600·392500/356400 = 3964 км/ч v а = 3600·392500/406700 = 3474 км/ч

Аналогично моменту силы определяется момент импульса (момент количества движения) материальной точки

Аналогично моменту силы определяется момент импульса (момент количества движения) материальной точки. Момент импульса относительно точки О равен

Моментом импульса относительно оси z называется составляющая L z по этой оси момента импульса L относительно точки О, лежащей на оси (рис. 97):

где R - составляющая радиуса-вектора r , перпендикулярная к оси z , а p τ - составляющая вектора р, перпендикулярная к плоскости, проходящей через ось z и точку m .

Выясним, чем определяется изменение момента импульса со временем. Для этого продифференцируем (37.1) по времени t , воспользовавшись правилом дифференцирования произведения:

(3 7.5 )

Первое слагаемое равно нулю, так как оно представляет собой векторное произведение векторов одинакового направления. В самом деле, вектор равен вектору скорости v и, следовательно, совпадает по направлению с вектором р=mv. Вектор по второму закону Ньютона равен действующей на тело силе f [см. (22.3)]. Следовательно, выражение (37.5) можно написать так:

(3 7.6 )

где М - момент приложенных к материальной точке сил, взятый относительно той же точки О, относительно которой берется момент импульса L.

Из соотношения (37.6) следует, что если результирующий момент действующих на материальную точку сил относительно какой-либо точки О равен нулю, то момент импульса материальной точки, взятый относительно той же точки О будет оставаться постоянным.

Взяв составляющие по оси z от векторов, входящих в формулу (37.6), получим выражение :

(3 7.7 )

Формула (37.6) похожа на формулу (22.3). Из сравнения этих формул вытекает, что подобно тому, как производная по времени от импульса равна силе, действующей на материальную точку, производная по времени от момента импульса равна моменту силы.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Пусть материальная точка m движется вдоль пунктирной прямой на рис.96. Поскольку движение прямолинейно, импульс материальной точки изменяется только по модулю, причем

где f - модуль силы [в рассматриваемом случае f имеет такое же направление, как р (см. рис. 96), так что ].

Плечо t остается неизменным. Следовательно,

что согласуется с формулой (37.6) (в данном случае L изменяется только по модулю, причем увеличивается, поэтому ).

Пример 2. Материальная точка массы m движется по окружности радиуса R (рис. 98).

Момент импульса материальной точки относительно центра окружности О равен по модулю:

L=mυR

(3 7.8 )

Вектор L перпендикулярен к плоскости окружности, причем направление движения точки и вектор L образуют правовинтовую систему.

Поскольку плечо, равное R, остается постоянным, момент импульса может изменяться только за счет изменения модуля скорости. При равномерном движении материальной точки по окружности момент импульса остается постоянным и по величине и по направлению. Легко сообразить, что в этом случае момент силы, действующей на материальную точку, равен нулю.

Пример 3. Рассмотрим движение материальной точки в центральном поле сил (см. § 26). В соответствии с (37.6) момент импульса материальной точки, взятый относительно центра сил, должен оставаться постоянным по величине и направлению (момент центральной силы относительно центра равен нулю). Радиус-вектор r , проведенный из центра сил в точку m , и вектор L перпендикулярны друг к другу. Поэтому вектор r остается все время в одной и той же плоскости, перпендикулярной к направлению L. Следовательно, движение материальной точки в центральном поле сил будет происходить по кривой, лежащей в плоскости, проходящей через центр сил.

В зависимости от знака центральных сил (т. е. от того, являются они силами притяжения или отталкивания), а также от начальных условий траектория представляет собой гиперболу, параболу или эллипс (в частности, окружность). Например, Земля движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой помещается Солнце.

Закон сохранения момента импульса. Рассмотрим систему из N материальных точек. Подобно тому, как это делалось в §23, разобьем силы, действующие на точки, на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних сил, действующих на i-ю материальную точку, обозначим символом , результирующий момент внешних сил, действующих на ту же точку, - символом М i . Тогда уравнение (37.6) для i-й материальной точки будет иметь вид:

(i=1, 2,…, N)

Это выражение представляет собой совокупность N уравнений, отличающихся друг от друга значениями индекса i . Сложив эти уравнения, получим:

называется моментом импульса системы материальных точек.

Сумма моментов внутренних сил [первая из сумм в правой части формулы (37.9)], как было показано в конце §36, равна нулю. Следовательно, обозначив суммарный момент внешних сил символом М, можно написать, что

(3 7.11 )

[в символы L и М в этой формуле вложен иной смысл, чем в такие же символы в формуле (37.6)].

Для замкнутой системы материальных точек М=0, вследствие чего суммарный момент импульса L не зависит от времени. Таким образом, мы пришли к закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Отметим, что момент импульса остается постоянным и для системы, подвергающейся внешним воздействиям, при условии, что суммарный момент внешних сил, действующих на тела системы, равен нулю.

Взяв от векторов, стоящих в левой и правой частях уравнения (37.11), их составляющие по оси z , придем к соотношению:

(3 7.12 )

Может случиться, что результирующий момент внешних сил относительно точки О отличен от нуля (М≠0), однако равна нулю составляющая М z вектора М по некоторому направлению z . Тогда согласно (37.12) будет сохраняться составляющая L z момента импульса системы по оси z .

Согласно формуле (2.1 1)

где -проекция на ось z вектора , а L z - проекция на ось z вектора L. Умножим обе части равенства на орт e z оси z и, учтя, что e z от t не зависит, внесем его в правой части под знак производной. В результате получим:

Но произведение e z на проекцию вектора на ось z дает составляющую этого вектора по оси z (см. сноску на стр. 132). Следовательно,

где - составляющая пo оси z вектора .