डमी के लिए वैक्टर। वैक्टर के साथ क्रिया

अंत में, मुझे एक व्यापक और लंबे समय से प्रतीक्षित विषय पर हाथ मिला विश्लेषणात्मक ज्यामिति. पहले, उच्च गणित के इस खंड के बारे में थोड़ा…. निश्चित रूप से अब आपको कई प्रमेयों, उनके प्रमाणों, रेखाचित्रों आदि के साथ स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम याद आ गया होगा। क्या छिपाना है, छात्रों के एक महत्वपूर्ण अनुपात के लिए एक अप्रिय और अक्सर अस्पष्ट विषय। विश्लेषणात्मक ज्यामिति, विचित्र रूप से पर्याप्त, अधिक रोचक और सुलभ लग सकती है। विशेषण "विश्लेषणात्मक" का क्या अर्थ है? दो मुद्रांकित गणितीय मोड़ तुरंत दिमाग में आते हैं: "समाधान की ग्राफिक विधि" और "समाधान की विश्लेषणात्मक विधि"। ग्राफिक विधि, निश्चित रूप से, रेखांकन, रेखाचित्रों के निर्माण से जुड़ा है। विश्लेषणात्मकवही तरीकासमस्या समाधान शामिल है मुख्य रूप सेबीजगणितीय संचालन के माध्यम से। इस संबंध में, विश्लेषणात्मक ज्यामिति की लगभग सभी समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म सरल और पारदर्शी है, अक्सर यह आवश्यक सूत्रों को सटीक रूप से लागू करने के लिए पर्याप्त है - और उत्तर तैयार है! नहीं, निश्चित रूप से, यह चित्र के बिना बिल्कुल भी नहीं चलेगा, इसके अलावा, सामग्री की बेहतर समझ के लिए, मैं उन्हें आवश्यकता से अधिक लाने की कोशिश करूंगा।

ज्यामिति में पाठों का खुला पाठ्यक्रम सैद्धांतिक पूर्णता का दावा नहीं करता है, यह व्यावहारिक समस्याओं को हल करने पर केंद्रित है। मैं अपने व्याख्यानों में केवल वही शामिल करूंगा जो मेरे दृष्टिकोण से व्यावहारिक दृष्टि से महत्वपूर्ण है। यदि आपको किसी उपखंड पर अधिक संपूर्ण संदर्भ की आवश्यकता है, तो मैं निम्नलिखित काफी सुलभ साहित्य की अनुशंसा करता हूं:

1) एक बात, जो कोई मज़ाक नहीं, कई पीढ़ियों से परिचित है: ज्यामिति पर स्कूल की पाठ्यपुस्तक, लेखक - एल.एस. अतानासियन एंड कंपनी. यह स्कूल लॉकर रूम हैंगर पहले से ही 20 (!) पुन: जारी कर चुका है, जो निश्चित रूप से सीमा नहीं है।

2) 2 खंडों में ज्यामिति. लेखकों एल.एस. अतानासियन, बाज़िलेव वी.टी.. यह उच्च शिक्षा के लिए साहित्य है, आपको इसकी आवश्यकता होगी पहला खंड. बार-बार होने वाले कार्य मेरी दृष्टि के क्षेत्र से बाहर हो सकते हैं, और ट्यूटोरियल अमूल्य मदद का होगा।

दोनों पुस्तकें ऑनलाइन डाउनलोड करने के लिए स्वतंत्र हैं। इसके अलावा, आप मेरे संग्रह का उपयोग तैयार समाधानों के साथ कर सकते हैं, जो पृष्ठ पर पाया जा सकता है उच्च गणित के उदाहरण डाउनलोड करें.

उपकरणों में से, मैं फिर से अपना खुद का विकास प्रदान करता हूं - सॉफ़्टवेयर पैकेजविश्लेषणात्मक ज्यामिति पर, जो जीवन को बहुत सरल करेगा और बहुत समय बचाएगा।

यह माना जाता है कि पाठक बुनियादी ज्यामितीय अवधारणाओं और आंकड़ों से परिचित है: बिंदु, रेखा, विमान, त्रिकोण, समांतर चतुर्भुज, समानांतर चतुर्भुज, घन, आदि। कुछ प्रमेयों को याद रखना उचित है, कम से कम पाइथागोरस प्रमेय, हैलो रिपीटर्स)

और अब हम क्रमिक रूप से विचार करेंगे: एक वेक्टर की अवधारणा, वैक्टर के साथ क्रियाएं, वेक्टर निर्देशांक। इसके अलावा मैं पढ़ने की सलाह देता हूं सबसे महत्वपूर्ण लेख वैक्टर का डॉट उत्पाद, साथ ही साथ वेक्टर और वैक्टर के मिश्रित उत्पाद. स्थानीय कार्य अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा - इस संबंध में खंड का विभाजन। उपरोक्त जानकारी के आधार पर, आप कर सकते हैं समतल में एक सीधी रेखा का समीकरणसाथ समाधान के सबसे सरल उदाहरण, जो अनुमति देगा ज्यामिति में समस्याओं को हल करना सीखें. निम्नलिखित लेख भी सहायक हैं: अंतरिक्ष में समतल का समीकरण, अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरण, लाइन और प्लेन पर बुनियादी समस्याएं, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अन्य खंड। स्वाभाविक रूप से, रास्ते में मानक कार्यों पर विचार किया जाएगा।

वेक्टर की अवधारणा। मुक्त वेक्टर

सबसे पहले, आइए एक वेक्टर की स्कूल परिभाषा को दोहराएं। वेक्टरबुलाया निर्देशितएक खंड जिसके लिए इसकी शुरुआत और अंत का संकेत दिया गया है:

इस मामले में, खंड की शुरुआत बिंदु है, खंड का अंत बिंदु है। सदिश स्वयं द्वारा निरूपित किया जाता है। दिशाआवश्यक है, यदि आप खंड के दूसरे छोर पर तीर को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो आपको एक वेक्टर मिलता है, और यह पहले से ही है पूरी तरह से अलग वेक्टर. भौतिक शरीर की गति के साथ वेक्टर की अवधारणा की पहचान करना सुविधाजनक है: आपको यह स्वीकार करना होगा कि किसी संस्थान के दरवाजे में प्रवेश करना या संस्थान के दरवाजे छोड़ना पूरी तरह से अलग चीजें हैं।

एक विमान, अंतरिक्ष के अलग-अलग बिंदुओं को तथाकथित माना जाना सुविधाजनक है शून्य वेक्टर. ऐसे वेक्टर का एक ही अंत और शुरुआत होती है।

!!! ध्यान दें: यहां और नीचे, आप मान सकते हैं कि वैक्टर एक ही विमान में स्थित हैं या आप मान सकते हैं कि वे अंतरिक्ष में स्थित हैं - प्रस्तुत सामग्री का सार विमान और अंतरिक्ष दोनों के लिए मान्य है।

पदनाम:बहुतों ने तुरंत पदनाम में एक तीर के बिना एक छड़ी की ओर ध्यान आकर्षित किया और कहा कि वे भी शीर्ष पर एक तीर लगाते हैं! यह सही है, आप एक तीर से लिख सकते हैं: , लेकिन स्वीकार्य और रिकॉर्ड जो मैं बाद में उपयोग करूंगा. क्यों? जाहिर है, इस तरह की आदत व्यावहारिक विचारों से विकसित हुई है, स्कूल और विश्वविद्यालय में मेरे निशानेबाज बहुत विविध और झबरा निकले। शैक्षिक साहित्य में, कभी-कभी वे क्यूनिफॉर्म से बिल्कुल भी परेशान नहीं होते हैं, लेकिन अक्षरों को बोल्ड: हाइलाइट करते हैं, जिससे यह संकेत मिलता है कि यह एक वेक्टर है।

वह शैली थी, और अब वैक्टर लिखने के तरीकों के बारे में:

1) सदिशों को दो बड़े लैटिन अक्षरों में लिखा जा सकता है:
आदि। जबकि पहला अक्षर अनिवार्य रूप सेवेक्टर के शुरुआती बिंदु को दर्शाता है, और दूसरा अक्षर वेक्टर के अंत बिंदु को दर्शाता है।

2) सदिश छोटे लैटिन अक्षरों में भी लिखे जाते हैं:
विशेष रूप से, हमारे वेक्टर को एक छोटे लैटिन अक्षर द्वारा संक्षिप्तता के लिए पुन: डिज़ाइन किया जा सकता है।

लंबाईया मापांकशून्येतर सदिश खंड की लंबाई कहलाती है। शून्य वेक्टर की लंबाई शून्य है। तर्क में।

एक सदिश की लंबाई को मापांक चिह्न द्वारा निरूपित किया जाता है: ,

एक वेक्टर की लंबाई कैसे ज्ञात करें, हम थोड़ी देर बाद सीखेंगे (या दोहराएं, किसके लिए कैसे)।

यह सभी स्कूली बच्चों से परिचित वेक्टर के बारे में प्राथमिक जानकारी थी। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, तथाकथित मुक्त वेक्टर.

अगर यह काफी सरल है - वेक्टर को किसी भी बिंदु से खींचा जा सकता है:

ऐसे सदिशों को हम बराबर कहते थे (समान सदिशों की परिभाषा नीचे दी जाएगी), लेकिन विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से, यह वही सदिश है या मुक्त वेक्टर. मुक्त क्यों? क्योंकि समस्याओं को हल करने के दौरान आप एक या दूसरे "स्कूल" वेक्टर को उस विमान या स्थान के किसी भी बिंदु पर "संलग्न" कर सकते हैं जिसकी आपको आवश्यकता है। यह बहुत बढ़िया संपत्ति है! मनमाना लंबाई और दिशा के एक निर्देशित खंड की कल्पना करें - इसे अनंत बार "क्लोन" किया जा सकता है और अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर, वास्तव में, यह हर जगह मौजूद है। ऐसी एक छात्र की कहावत है: प्रत्येक व्याख्याता f ** u वेक्टर में। आखिरकार, यह सिर्फ एक मजाकिया कविता नहीं है, सब कुछ लगभग सही है - एक निर्देशित खंड भी वहां संलग्न किया जा सकता है। लेकिन आनन्दित होने में जल्दबाजी न करें, छात्र स्वयं अधिक बार पीड़ित होते हैं =)

इसलिए, मुक्त वेक्टर- यह गुच्छा समान दिशात्मक खंड। एक वेक्टर की स्कूल परिभाषा, पैराग्राफ की शुरुआत में दी गई है: "एक निर्देशित खंड को एक वेक्टर कहा जाता है ...", का अर्थ है विशिष्टकिसी दिए गए सेट से लिया गया एक निर्देशित खंड, जो विमान या अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु से जुड़ा होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भौतिकी के दृष्टिकोण से, एक मुक्त वेक्टर की अवधारणा आम तौर पर गलत है, और आवेदन की बात मायने रखती है। दरअसल, नाक पर या माथे पर एक ही बल का सीधा प्रहार मेरे बेवकूफ उदाहरण को विकसित करने के लिए काफी है, इसके अलग-अलग परिणाम होंगे। हालाँकि, खाली नहींविषमत के दौरान वैक्टर भी पाए जाते हैं (वहां मत जाओ :))।

वैक्टर के साथ क्रिया। वैक्टर की संरेखता

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, वैक्टर के साथ कई क्रियाओं और नियमों पर विचार किया जाता है: त्रिभुज नियम के अनुसार जोड़, समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार योग, सदिशों के अंतर का नियम, किसी संख्या से सदिश का गुणन, सदिशों का अदिश गुणन आदि।एक बीज के रूप में, हम दो नियमों को दोहराते हैं जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक हैं।

त्रिभुजों के नियम के अनुसार सदिशों के योग का नियम

दो स्वेच्छ अशून्य सदिशों पर विचार कीजिए और :

इन सदिशों का योग ज्ञात करना आवश्यक है। इस तथ्य के कारण कि सभी वैक्टर मुक्त माने जाते हैं, हम वेक्टर को स्थगित कर देते हैं समाप्तवेक्टर :

सदिशों का योग सदिश होता है। नियम की बेहतर समझ के लिए, इसमें भौतिक अर्थ डालने की सलाह दी जाती है: कुछ शरीर को वेक्टर के साथ और फिर वेक्टर के साथ पथ बनाने दें। फिर वैक्टर का योग प्रस्थान के बिंदु से शुरू होने वाले और आगमन के बिंदु पर समाप्त होने वाले परिणामी पथ का वेक्टर है। वैक्टर की किसी भी संख्या के योग के लिए एक समान नियम तैयार किया जाता है। जैसा कि वे कहते हैं, शरीर अपने तरीके से जोरदार ज़िगज़ैग, या शायद ऑटोपायलट पर - परिणामी योग वेक्टर के साथ जा सकता है।

वैसे, अगर वेक्टर को स्थगित कर दिया गया है शुरुवेक्टर , तो हम समतुल्य प्राप्त करते हैं समांतर चतुर्भुज नियमवैक्टर का जोड़।

सबसे पहले, वैक्टर की संपार्श्विकता के बारे में। दो वैक्टर को कहा जाता है समरेखयदि वे एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हों। मोटे तौर पर, हम समानांतर वैक्टर के बारे में बात कर रहे हैं। लेकिन उनके संबंध में, विशेषण "कोलाइनियर" हमेशा प्रयोग किया जाता है।

दो समरेखी सदिशों की कल्पना कीजिए। यदि इन सदिशों के तीरों को एक ही दिशा में निर्देशित किया जाता है, तो ऐसे सदिश कहलाते हैं सह-दिशात्मक. यदि तीर अलग-अलग दिशाओं में देखते हैं, तो सदिश होंगे विपरीत दिशा में निर्देशित.

पदनाम:वैक्टर की समरूपता सामान्य समानता आइकन के साथ लिखी जाती है: , जबकि विवरण संभव है: (वैक्टर सह-निर्देशित होते हैं) या (वैक्टर विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं)।

कामएक संख्या से एक गैर-शून्य वेक्टर का एक वेक्टर होता है जिसकी लंबाई बराबर होती है, और वैक्टर और सह-निर्देशित होते हैं और विपरीत रूप से निर्देशित होते हैं।

किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने के नियम को चित्र द्वारा समझना आसान है:

हम और अधिक विस्तार से समझते हैं:

1 दिशा। यदि गुणक ऋणात्मक है, तो सदिश दिशा बदलता हैविपरीत करने के लिए।

2) लंबाई। यदि गुणनखंड या के भीतर निहित है, तो सदिश की लंबाई कम हो जाती है. तो, वेक्टर की लंबाई वेक्टर की लंबाई से दोगुनी है। यदि मोडुलो गुणक एक से अधिक है, तो सदिश की लंबाई बढ़ती हैसमय के भीतर।

3) कृपया ध्यान दें कि सभी सदिश संरेख हैं, जबकि एक वेक्टर दूसरे के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए, . विपरीत भी सही है: यदि एक सदिश को दूसरे के पदों में व्यक्त किया जा सकता है, तो ऐसे सदिश आवश्यक रूप से संरेखीय होते हैं। इस तरह: यदि हम किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें संरेख प्राप्त होता है(मूल के सापेक्ष) वेक्टर.

4) सदिश कूटदिशायी होते हैं। सदिश और सह-दिशा भी हैं। पहले समूह का कोई भी वेक्टर दूसरे समूह के किसी भी वेक्टर के विपरीत होता है।

कौन से वैक्टर समान हैं?

दो सदिश समान हैं यदि वे कूटदिशा में हैं और उनकी लंबाई समान है. ध्यान दें कि सह-दिशा का अर्थ है कि वेक्टर संरेख हैं। परिभाषा गलत (अनावश्यक) होगी यदि आप कहते हैं: "दो वैक्टर समान हैं यदि वे समरेखीय हैं, सह-निर्देशित हैं और उनकी लंबाई समान है।"

एक मुक्त सदिश की अवधारणा के दृष्टिकोण से, समान सदिश वही सदिश हैं, जिसकी चर्चा पिछले पैराग्राफ में की जा चुकी है।

वेक्टर विमान और अंतरिक्ष में निर्देशांक करता है

पहला बिंदु एक विमान पर वैक्टर पर विचार करना है। एक कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली बनाएं और मूल बिंदु से अलग रखें एकवैक्टर और:

वेक्टर और ओर्थोगोनल. ओर्थोगोनल = लंबवत। मैं धीरे-धीरे शर्तों के अभ्यस्त होने की सलाह देता हूं: समानांतरवाद और लंबवतता के बजाय, हम क्रमशः शब्दों का उपयोग करते हैं समरैखिकतातथा ओर्थोगोनालिटी.

पद:सदिशों की ओर्थोगोनैलिटी को सामान्य लंबवत चिन्ह के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए: .

माना वैक्टर कहा जाता है निर्देशांक वैक्टरया orts. ये वैक्टर बनते हैं आधारसतह पर। आधार क्या है, मुझे लगता है, कई लोगों के लिए सहज रूप से स्पष्ट है, लेख में अधिक विस्तृत जानकारी मिल सकती है वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधारसरल शब्दों में, निर्देशांक का आधार और उत्पत्ति संपूर्ण प्रणाली को परिभाषित करती है - यह एक प्रकार की नींव है जिस पर एक पूर्ण और समृद्ध ज्यामितीय जीवन उबलता है।

कभी-कभी निर्मित आधार कहा जाता है ऑर्थोनॉर्मलविमान का आधार: "ऑर्थो" - क्योंकि निर्देशांक वैक्टर ऑर्थोगोनल हैं, विशेषण "सामान्यीकृत" का अर्थ है इकाई, अर्थात। आधार वैक्टर की लंबाई एक के बराबर होती है।

पद:आधार आमतौर पर कोष्ठक में लिखा जाता है, जिसके अंदर सख्त क्रम मेंआधार वैक्टर सूचीबद्ध हैं, उदाहरण के लिए: . निर्देशांक वैक्टर यह निषिद्ध हैस्थानों की अदला-बदली करें।

कोईविमान वेक्टर एक ही रास्ताइसके रूप में बताया गया:
, कहाँ पे - नंबर, जिन्हें कहा जाता है वेक्टर निर्देशांकइस आधार में। लेकिन अभिव्यक्ति ही बुलाया वेक्टर अपघटनआधार .

रात का खाना परोसा गया:

आइए वर्णमाला के पहले अक्षर से शुरू करते हैं:। चित्र स्पष्ट रूप से दिखाता है कि आधार के संदर्भ में वेक्टर को विघटित करते समय, जिन पर अभी विचार किया गया है, उनका उपयोग किया जाता है:
1) किसी संख्या से सदिश के गुणन का नियम: तथा ;
2) त्रिभुज नियम के अनुसार सदिशों का योग: .

अब मानसिक रूप से वेक्टर को विमान के किसी अन्य बिंदु से अलग रखें। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि उनका भ्रष्टाचार "निरंतर उनका पीछा करेगा।" यहाँ यह है, वेक्टर की स्वतंत्रता - वेक्टर "सब कुछ अपने साथ ले जाता है।" यह गुण, निश्चित रूप से, किसी भी वेक्टर के लिए सही है। यह मज़ेदार है कि आधार (मुक्त) वैक्टर को खुद को मूल से अलग करने की ज़रूरत नहीं है, एक को खींचा जा सकता है, उदाहरण के लिए, नीचे बाईं ओर, और दूसरा ऊपर दाईं ओर, और इससे कुछ भी नहीं बदलेगा! सच है, आपको ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि शिक्षक भी मौलिकता दिखाएगा और आपको अप्रत्याशित स्थान पर "पास" देगा।

वेक्टर, एक संख्या से एक वेक्टर को गुणा करने के लिए बिल्कुल नियम का वर्णन करते हैं, वेक्टर को आधार वेक्टर के साथ सह-निर्देशित किया जाता है, वेक्टर को आधार वेक्टर के विपरीत निर्देशित किया जाता है। इन वैक्टरों के लिए, निर्देशांक में से एक शून्य के बराबर है, इसे सावधानीपूर्वक इस प्रकार लिखा जा सकता है:


और आधार वैक्टर, वैसे, इस प्रकार हैं: (वास्तव में, वे स्वयं के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं)।

और अंत में: , । वैसे, वेक्टर घटाव क्या है, और मैंने आपको घटाव नियम के बारे में क्यों नहीं बताया? रैखिक बीजगणित में कहीं, मुझे याद नहीं है कि कहाँ, मैंने देखा कि घटाव जोड़ का एक विशेष मामला है। तो, वैक्टर "डी" और "ई" के विस्तार को शांति से योग के रूप में लिखा जाता है: . इन स्थितियों में त्रिभुज नियम के अनुसार सदिशों का अच्छा पुराना जोड़ कितनी अच्छी तरह काम करता है, यह देखने के लिए चित्र का अनुसरण करें।

फॉर्म का अपघटन माना जाता है कभी-कभी एक वेक्टर अपघटन कहा जाता है प्रणाली में ort(यानी यूनिट वैक्टर की प्रणाली में)। लेकिन वेक्टर लिखने का यह एकमात्र तरीका नहीं है, निम्न विकल्प सामान्य है:

या एक समान चिह्न के साथ:

आधार सदिश स्वयं इस प्रकार लिखे जाते हैं: तथा

अर्थात्, सदिश के निर्देशांक कोष्ठकों में दर्शाए गए हैं। व्यावहारिक कार्यों में, तीनों रिकॉर्डिंग विकल्पों का उपयोग किया जाता है।

मुझे संदेह था कि क्या बोलना है, लेकिन फिर भी मैं कहूंगा: वेक्टर निर्देशांक पुनर्व्यवस्थित नहीं किया जा सकता. सख्ती से पहले स्थान परयूनिट वेक्टर से मेल खाने वाले निर्देशांक को लिखें, सख्ती से दूसरे स्थान परउस निर्देशांक को लिखिए जो इकाई सदिश के संगत है। दरअसल, और दो अलग-अलग वैक्टर हैं।

हमने विमान पर निर्देशांक का पता लगाया। अब त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टर पर विचार करें, यहाँ सब कुछ लगभग समान है! केवल एक और समन्वय जोड़ा जाएगा। त्रि-आयामी चित्र बनाना मुश्किल है, इसलिए मैं खुद को एक वेक्टर तक सीमित रखूंगा, जिसे सादगी के लिए मैं मूल से स्थगित कर दूंगा:

कोई 3 डी अंतरिक्ष वेक्टर एक ही रास्ताएक ऑर्थोनॉर्मल आधार पर विस्तार करें:
, दिए गए आधार में सदिश (संख्या) के निर्देशांक कहां हैं।

चित्र से उदाहरण: . आइए देखें कि यहां सदिश क्रिया नियम कैसे कार्य करते हैं। सबसे पहले, एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करना: (लाल तीर), (हरा तीर) और (मैजेंटा तीर)। दूसरे, यहाँ कई जोड़ने का एक उदाहरण है, इस मामले में तीन, वैक्टर: . योग वेक्टर प्रस्थान के शुरुआती बिंदु (वेक्टर की शुरुआत) से शुरू होता है और आगमन के अंतिम बिंदु (वेक्टर के अंत) पर समाप्त होता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के सभी वैक्टर, निश्चित रूप से, मुक्त भी हैं, वेक्टर को किसी अन्य बिंदु से मानसिक रूप से स्थगित करने का प्रयास करें, और आप समझेंगे कि इसका विस्तार "इसके साथ रहता है।"

इसी तरह विमान के मामले में, लेखन के अलावा कोष्ठक वाले संस्करण व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं: या तो .

यदि विस्तार में एक (या दो) निर्देशांक सदिश गायब हैं, तो इसके बजाय शून्य डाल दिए जाते हैं। उदाहरण:
वेक्टर (सावधानी से ) - लिखो ;
वेक्टर (सावधानी से ) - लिखो ;
वेक्टर (सावधानी से ) - लिखो ।

आधार सदिशों को इस प्रकार लिखा जाता है:

यहाँ, शायद, विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक सभी न्यूनतम सैद्धांतिक ज्ञान है। शायद बहुत सारे नियम और परिभाषाएँ हैं, इसलिए मैं डमी को इस जानकारी को फिर से पढ़ने और समझने की सलाह देता हूँ। और किसी भी पाठक के लिए सामग्री के बेहतर आत्मसात करने के लिए समय-समय पर मूल पाठ का संदर्भ लेना उपयोगी होगा। कोलीनियरिटी, ऑर्थोगोनैलिटी, ऑर्थोनॉर्मल बेसिस, वेक्टर डीकंपोजिशन - इन और अन्य कॉन्सेप्ट्स का इस्तेमाल अक्सर निम्नलिखित में किया जाएगा। मैं ध्यान देता हूं कि साइट की सामग्री एक सैद्धांतिक परीक्षा पास करने के लिए पर्याप्त नहीं है, ज्यामिति पर एक बोलचाल, क्योंकि मैं सभी प्रमेयों (बिना सबूत के) को सावधानीपूर्वक एन्क्रिप्ट करता हूं - प्रस्तुति की वैज्ञानिक शैली की हानि के लिए, लेकिन आपकी समझ के लिए एक प्लस विषय का। विस्तृत सैद्धांतिक जानकारी के लिए, मैं आपसे प्रोफेसर अतानास्यान को नमन करने के लिए कहता हूं।

अब व्यावहारिक भाग पर चलते हैं:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे सरल समस्याएं।
निर्देशांक में वैक्टर के साथ क्रिया

जिन कार्यों पर विचार किया जाएगा, यह सीखना अत्यधिक वांछनीय है कि उन्हें पूरी तरह से स्वचालित रूप से कैसे हल किया जाए, और सूत्र याद, इसे जानबूझ कर याद भी न रखें, वे इसे स्वयं याद रखेंगे =) यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की अन्य समस्याएं सबसे सरल प्राथमिक उदाहरणों पर आधारित हैं, और मोहरे खाने में अतिरिक्त समय बिताना कष्टप्रद होगा। आपको अपनी शर्ट के ऊपर के बटनों को बन्धन करने की आवश्यकता नहीं है, बहुत सी बातें आपको स्कूल से परिचित हैं।

सामग्री की प्रस्तुति एक समानांतर पाठ्यक्रम का पालन करेगी - विमान और अंतरिक्ष दोनों के लिए। जिस वजह से सारे फॉर्मूले... आप खुद देख लीजिए।

दो अंक दिए गए वेक्टर को कैसे खोजें?

यदि समतल के दो बिंदु और दिए गए हैं, तो सदिश के निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

यदि अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं और दिए गए हैं, तो वेक्टर के निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

अर्थात्, वेक्टर के अंत के निर्देशांक सेआपको संबंधित निर्देशांक घटाना होगा वेक्टर प्रारंभ.

व्यायाम:उन्हीं बिंदुओं के लिए, सदिश के निर्देशांक ज्ञात करने के सूत्र लिखिए। पाठ के अंत में सूत्र।

उदाहरण 1

विमान में दो बिंदु दिए गए हैं और . वेक्टर निर्देशांक खोजें

समाधान:संबंधित सूत्र के अनुसार:

वैकल्पिक रूप से, निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जा सकता है:

सौंदर्यशास्त्र इस तरह तय करेंगे:

व्यक्तिगत रूप से, मैं रिकॉर्ड के पहले संस्करण के लिए अभ्यस्त हूं।

उत्तर:

शर्त के अनुसार, चित्र बनाने की आवश्यकता नहीं थी (जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं के लिए विशिष्ट है), लेकिन डमी को कुछ बिंदुओं को समझाने के लिए, मैं बहुत आलसी नहीं होऊंगा:

समझना चाहिए बिंदु निर्देशांक और वेक्टर निर्देशांक के बीच अंतर:

बिंदु निर्देशांकएक आयताकार समन्वय प्रणाली में सामान्य निर्देशांक हैं। मुझे लगता है कि ग्रेड 5-6 के बाद से हर कोई जानता है कि समन्वय विमान पर बिंदुओं को कैसे प्लॉट करना है। प्रत्येक बिंदु का विमान पर एक सख्त स्थान होता है, और उन्हें कहीं भी नहीं ले जाया जा सकता है।

एक ही वेक्टर के निर्देशांकइस मामले में आधार के संबंध में इसका विस्तार है। कोई भी वेक्टर स्वतंत्र है, इसलिए, यदि वांछित या आवश्यक है, तो हम इसे विमान के किसी अन्य बिंदु से आसानी से स्थगित कर सकते हैं (इसका नाम बदलकर, उदाहरण के लिए, भ्रम से बचने के लिए)। दिलचस्प बात यह है कि वैक्टर के लिए, आप कुल्हाड़ियों का निर्माण बिल्कुल नहीं कर सकते, एक आयताकार समन्वय प्रणाली, आपको केवल एक आधार की आवश्यकता होती है, इस मामले में, विमान का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार।

बिंदु निर्देशांक और वेक्टर निर्देशांक के रिकॉर्ड समान प्रतीत होते हैं: , तथा निर्देशांक की भावनाबिल्कुल विभिन्न, और आपको इस अंतर के बारे में अच्छी तरह पता होना चाहिए। बेशक, यह अंतर अंतरिक्ष के लिए भी सही है।

देवियो और सज्जनो, हम हाथ भरते हैं:

उदाहरण 2

ए) दिए गए अंक और। वैक्टर खोजें और .
बी) अंक दिए गए हैं तथा । वैक्टर खोजें और .
ग) दिए गए अंक और . वैक्टर खोजें और .
d) अंक दिए गए हैं। वेक्टर खोजें .

शायद काफी। ये एक स्वतंत्र निर्णय के लिए उदाहरण हैं, उनकी उपेक्षा न करने का प्रयास करें, यह भुगतान करेगा ;-)। चित्र की आवश्यकता नहीं है। पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं को हल करने में क्या महत्वपूर्ण है?उत्कृष्ट "दो प्लस दो बराबर शून्य" त्रुटि से बचने के लिए अत्यधिक सावधान रहना महत्वपूर्ण है। अगर मुझसे कोई गलती हुई हो तो मैं पहले से माफी मांगता हूं =)

किसी खंड की लंबाई कैसे ज्ञात करें?

लंबाई, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, मापांक चिह्न द्वारा इंगित किया गया है।

यदि समतल के दो बिंदु और दिए गए हैं, तो खंड की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

यदि अंतरिक्ष में दो बिंदु और दिए गए हैं, तो खंड की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

ध्यान दें: यदि संबंधित निर्देशांकों की अदला-बदली की जाती है तो सूत्र सही रहेंगे: और, लेकिन पहला विकल्प अधिक मानक है

उदाहरण 3

समाधान:संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

स्पष्टता के लिए, मैं एक चित्र बनाऊंगा

अनुभाग - यह एक वेक्टर नहीं है, और आप इसे कहीं भी नहीं ले जा सकते, बिल्कुल। इसके अलावा, यदि आप ड्राइंग को स्केल पर पूरा करते हैं: 1 इकाई। \u003d 1 सेमी (दो टेट्राड कोशिकाएं), फिर खंड की लंबाई को सीधे मापकर एक नियमित शासक के साथ उत्तर की जांच की जा सकती है।

हां, समाधान छोटा है, लेकिन इसमें कुछ महत्वपूर्ण बिंदु हैं जिन्हें मैं स्पष्ट करना चाहूंगा:

सबसे पहले, उत्तर में हम आयाम निर्धारित करते हैं: "इकाइयाँ"। स्थिति यह नहीं बताती कि यह क्या है, मिलीमीटर, सेंटीमीटर, मीटर या किलोमीटर। इसलिए, सामान्य सूत्रीकरण गणितीय रूप से सक्षम समाधान होगा: "इकाइयाँ" - "इकाइयाँ" के रूप में संक्षिप्त।

दूसरे, आइए स्कूल सामग्री को दोहराएं, जो न केवल विचार की गई समस्या के लिए उपयोगी है:

पर ध्यान दें महत्वपूर्ण तकनीकी ट्रिक – गुणक को जड़ के नीचे से निकालना. गणनाओं के परिणामस्वरूप, हमें परिणाम मिला और अच्छी गणितीय शैली में गुणक को जड़ के नीचे से (यदि संभव हो) निकालना शामिल है। प्रक्रिया इस तरह अधिक विस्तार से दिखती है: . बेशक, फॉर्म में उत्तर छोड़ना कोई गलती नहीं होगी - लेकिन यह निश्चित रूप से एक दोष है और शिक्षक की ओर से नाइटपिकिंग के लिए एक वजनदार तर्क है।

यहाँ अन्य सामान्य मामले हैं:

उदाहरण के लिए, अक्सर रूट के तहत पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या प्राप्त की जाती है। ऐसे मामलों में कैसे रहें? कैलकुलेटर पर, हम जांचते हैं कि संख्या 4 से विभाज्य है या नहीं। हाँ, पूरी तरह से विभाजित, इस प्रकार: . या हो सकता है कि संख्या को फिर से 4 से विभाजित किया जा सकता है? . इस तरह: . संख्या का अंतिम अंक विषम है, इसलिए तीसरी बार 4 से विभाजित करना स्पष्ट रूप से संभव नहीं है। नौ से विभाजित करने का प्रयास: . नतीजतन:
तैयार।

निष्कर्ष:यदि रूट के तहत हमें पूरी तरह से गैर-निष्कर्षण योग्य संख्या मिलती है, तो हम कारक को रूट के नीचे से निकालने का प्रयास करते हैं - कैलकुलेटर पर हम जांचते हैं कि संख्या विभाज्य है या नहीं: 4, 9, 16, 25, 36, 49, आदि।

विभिन्न समस्याओं को हल करने के क्रम में, जड़ें अक्सर मिल जाती हैं, शिक्षक की टिप्पणी के अनुसार अपने समाधान को अंतिम रूप देने के साथ कम अंक और अनावश्यक परेशानियों से बचने के लिए हमेशा जड़ के नीचे से कारकों को निकालने का प्रयास करें।

आइए एक ही समय में जड़ों और अन्य शक्तियों के वर्ग को दोहराएं:

सामान्य रूप में डिग्री के साथ क्रियाओं के नियम बीजगणित पर एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक में पाए जा सकते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि दिए गए उदाहरणों से सब कुछ या लगभग सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है।

अंतरिक्ष में एक खंड के साथ एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उदाहरण 4

दिए गए अंक और . खंड की लंबाई पाएं।

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

वेक्टर की लंबाई कैसे ज्ञात करें?

यदि एक समतल सदिश दिया जाता है, तो इसकी लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है।

यदि एक अंतरिक्ष सदिश दिया जाता है, तो इसकी लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है .

ये सूत्र (साथ ही एक खंड की लंबाई के लिए सूत्र) कुख्यात पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किए जाते हैं।

मानक परिभाषा: "एक वेक्टर एक निर्देशित रेखा खंड है।" यह आमतौर पर एक स्नातक के वैक्टर के ज्ञान की सीमा है। किसी प्रकार के "निर्देशित खंड" की आवश्यकता किसे है?

लेकिन वास्तव में, वैक्टर क्या हैं और वे क्यों हैं?
मौसम पूर्वानुमान। "उत्तर पश्चिम हवा, गति 18 मीटर प्रति सेकंड।" सहमत, हवा की दिशा (जहां से यह चलती है) और इसकी गति का मॉड्यूल (अर्थात, निरपेक्ष मान) भी मायने रखता है।

जिन राशियों की कोई दिशा नहीं होती उन्हें अदिश राशि कहते हैं। द्रव्यमान, कार्य, विद्युत आवेश कहीं भी निर्देशित नहीं होते हैं। उन्हें केवल एक संख्यात्मक मान की विशेषता है - "कितने किलोग्राम" या "कितने जूल"।

भौतिक राशियाँ जिनका न केवल एक निरपेक्ष मान होता है, बल्कि एक दिशा भी होती है, सदिश राशियाँ कहलाती हैं।

गति, बल, त्वरण - सदिश। उनके लिए, "कितना" महत्वपूर्ण है और यह महत्वपूर्ण है "कहाँ"। उदाहरण के लिए, मुक्त गिरावट त्वरण पृथ्वी की सतह की ओर निर्देशित है, और इसका मान 9.8 m/s 2 है। संवेग, विद्युत क्षेत्र शक्ति, चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण भी सदिश राशियाँ हैं।

आपको याद है कि भौतिक राशियों को लैटिन या ग्रीक अक्षरों से दर्शाया जाता है। अक्षर के ऊपर का तीर इंगित करता है कि मात्रा एक सदिश है:

यहाँ एक और उदाहरण है।
कार A से B की ओर जा रही है। अंतिम परिणाम बिंदु ए से बिंदु बी तक इसकी गति है, यानी एक वेक्टर द्वारा आंदोलन .

अब यह स्पष्ट है कि एक सदिश एक निर्देशित खंड क्यों है। ध्यान दें, वेक्टर का अंत वह जगह है जहां तीर है। वेक्टर लंबाईइस खंड की लंबाई कहा जाता है। मनोनीत: या

अब तक, हम अंकगणित और प्रारंभिक बीजगणित के नियमों के अनुसार अदिश राशियों के साथ काम कर रहे हैं। वेक्टर एक नई अवधारणा है। यह गणितीय वस्तुओं का एक और वर्ग है। उनके अपने नियम हैं।

एक समय की बात है, हम संख्याओं के बारे में भी नहीं जानते थे। उनके साथ परिचित प्राथमिक ग्रेड में शुरू हुआ। यह पता चला कि संख्याओं की एक दूसरे के साथ तुलना की जा सकती है, जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है। हमने सीखा कि एक नंबर एक और एक नंबर शून्य होता है।
अब हम वैक्टर को जानते हैं।

वैक्टर के लिए "से अधिक" और "से कम" की अवधारणाएं मौजूद नहीं हैं - आखिरकार, उनकी दिशाएं भिन्न हो सकती हैं। आप केवल वैक्टर की लंबाई की तुलना कर सकते हैं।

लेकिन वैक्टर के लिए समानता की अवधारणा है।
बराबरी कावे सदिश हैं जिनकी लंबाई और दिशा समान है। इसका मतलब है कि वेक्टर को विमान के किसी भी बिंदु पर अपने समानांतर ले जाया जा सकता है।
एकएक सदिश कहलाती है जिसकी लंबाई 1 है। शून्य - एक सदिश जिसकी लंबाई शून्य के बराबर है, अर्थात इसकी शुरुआत अंत के साथ मेल खाती है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में वैक्टर के साथ काम करना सबसे सुविधाजनक है - वह जिसमें हम फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाते हैं। निर्देशांक प्रणाली में प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है - इसके x और y निर्देशांक, भुज और कोटि।
वेक्टर भी दो निर्देशांक द्वारा दिया जाता है:

यहाँ, सदिश के निर्देशांक कोष्ठकों में - x और y में लिखे गए हैं।
उन्हें ढूंढना आसान है: वेक्टर के अंत का निर्देशांक घटाकर इसकी शुरुआत का समन्वय।

यदि वेक्टर निर्देशांक दिए गए हैं, तो इसकी लंबाई सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है

वेक्टर जोड़

वैक्टर जोड़ने के दो तरीके हैं।

एक । समांतर चतुर्भुज नियम। सदिश और जोड़ने के लिए, हम दोनों के मूल बिंदुओं को एक ही बिंदु पर रखते हैं। हम समांतर चतुर्भुज को पूरा करते हैं और उसी बिंदु से समांतर चतुर्भुज का विकर्ण खींचते हैं। यह वैक्टर और का योग होगा।

हंस, कैंसर और पाइक के बारे में कल्पित कहानी याद है? उन्होंने बहुत कोशिश की, लेकिन उन्होंने गाड़ी को कभी नहीं हिलाया। आखिरकार, उनके द्वारा गाड़ी पर लगाए गए बलों का सदिश योग शून्य के बराबर था।

2. सदिश जोड़ने का दूसरा तरीका त्रिभुज नियम है। आइए समान वैक्टर लें और . हम दूसरे की शुरुआत को पहले वेक्टर के अंत में जोड़ते हैं। अब पहले की शुरुआत और दूसरे के अंत को जोड़ते हैं। यह वैक्टर और का योग है।

उसी नियम से, आप कई वैक्टर जोड़ सकते हैं। हम उन्हें एक-एक करके जोड़ते हैं, और फिर पहले की शुरुआत को आखिरी के अंत से जोड़ते हैं।

कल्पना कीजिए कि आप बिंदु A से बिंदु B, B से C, C से D, फिर E और फिर F पर जा रहे हैं। इन क्रियाओं का अंतिम परिणाम A से F की ओर बढ़ना है।

वैक्टर जोड़ते समय और हमें मिलता है:

वेक्टर घटाव

वेक्टर को वेक्टर के विपरीत निर्देशित किया जाता है। वैक्टर की लंबाई और बराबर हैं।

अब यह स्पष्ट है कि सदिशों का घटाव क्या है। वैक्टर का अंतर और वेक्टर और वेक्टर का योग है।

किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करें

किसी सदिश को k संख्या से गुणा करने पर एक सदिश प्राप्त होता है जिसकी लंबाई लंबाई से k गुना भिन्न होती है। यदि k शून्य से बड़ा है, तो यह सदिश के साथ सह-दिशात्मक है, और यदि k शून्य से कम है, तो विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

वैक्टर का डॉट उत्पाद

वैक्टर को न केवल संख्याओं से, बल्कि एक दूसरे से भी गुणा किया जा सकता है।

सदिशों का अदिश गुणन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या का गुणनफल होता है।

ध्यान दें - हमने दो वैक्टरों को गुणा किया, और हमें एक अदिश, यानी एक संख्या मिली। उदाहरण के लिए, भौतिकी में, यांत्रिक कार्य दो सदिशों के अदिश गुणनफल के बराबर होता है - बल और विस्थापन:

यदि वेक्टर लंबवत हैं, तो उनका डॉट उत्पाद शून्य है।
और इस प्रकार अदिश उत्पाद को सदिशों के निर्देशांकों के रूप में व्यक्त किया जाता है और:

अदिश उत्पाद के सूत्र से, आप सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कर सकते हैं:

स्टीरियोमेट्री में यह सूत्र विशेष रूप से सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, गणित में प्रोफ़ाइल USE की समस्या 14 में, आपको प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच या एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात करना होगा। समस्या 14 को अक्सर शास्त्रीय की तुलना में कई गुना तेजी से हल किया जाता है।

गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में केवल सदिशों के अदिश गुणनफल का अध्ययन किया जाता है।
यह पता चला है कि स्केलर के अलावा, एक वेक्टर उत्पाद भी होता है, जब दो वैक्टरों को गुणा करने पर एक वेक्टर प्राप्त होता है। भौतिकी में परीक्षा कौन पास करता है, वह जानता है कि लोरेंत्ज़ बल और एम्पीयर बल क्या हैं। इन बलों को खोजने के सूत्रों में बिल्कुल वेक्टर उत्पाद शामिल हैं।

वेक्टर एक बहुत ही उपयोगी गणितीय उपकरण हैं। पहले कोर्स में आपको इस बात का यकीन हो जाएगा।

इस लेख में, आप और मैं एक "जादू की छड़ी" की चर्चा शुरू करेंगे जो आपको ज्यामिति में कई समस्याओं को सरल अंकगणित में कम करने की अनुमति देगा। यह "छड़ी" आपके जीवन को बहुत आसान बना सकती है, खासकर जब आप स्थानिक आंकड़े, खंड आदि बनाने में असुरक्षित महसूस करते हैं। इसके लिए एक निश्चित कल्पना और व्यावहारिक कौशल की आवश्यकता होती है। जिस विधि पर हम यहां विचार करना शुरू करेंगे, वह आपको सभी प्रकार की ज्यामितीय संरचनाओं और तर्क से लगभग पूरी तरह से अलग करने की अनुमति देगी। विधि कहा जाता है "समन्वय विधि". इस लेख में, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. विमान का समन्वय
2. विमान पर अंक और वैक्टर
3. दो बिंदुओं से एक वेक्टर बनाना
4. वेक्टर लंबाई (दो बिंदुओं के बीच की दूरी)
5. मध्यबिंदु निर्देशांक
6. सदिशों का डॉट उत्पाद
7. दो सदिशों के बीच का कोण

मुझे लगता है कि आप पहले ही अनुमान लगा चुके हैं कि निर्देशांक पद्धति को ऐसा क्यों कहा जाता है? यह सच है कि इसे ऐसा नाम मिला, क्योंकि यह ज्यामितीय वस्तुओं के साथ नहीं, बल्कि उनकी संख्यात्मक विशेषताओं (निर्देशांक) के साथ काम करता है। और परिवर्तन ही, जो ज्यामिति से बीजगणित में जाना संभव बनाता है, एक समन्वय प्रणाली की शुरुआत में शामिल है। यदि मूल आकृति समतल थी, तो निर्देशांक द्वि-आयामी हैं, और यदि आकृति त्रि-आयामी है, तो निर्देशांक त्रि-आयामी हैं। इस लेख में, हम केवल द्वि-आयामी मामले पर विचार करेंगे। और लेख का मुख्य उद्देश्य आपको समन्वय पद्धति की कुछ बुनियादी तकनीकों का उपयोग करना सिखाना है (यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के भाग बी में प्लैनिमेट्री में समस्याओं को हल करते समय वे कभी-कभी उपयोगी साबित होते हैं)। इस विषय पर निम्नलिखित दो खंड समस्या C2 (स्टीरियोमेट्री की समस्या) को हल करने के तरीकों की चर्चा के लिए समर्पित हैं।

निर्देशांक पद्धति पर चर्चा शुरू करना कहाँ से तर्कसंगत होगा? शायद एक समन्वय प्रणाली की अवधारणा के साथ। याद कीजिए जब आप उससे पहली बार मिले थे। मुझे ऐसा लगता है कि 7 वीं कक्षा में, उदाहरण के लिए, जब आपने एक रैखिक कार्य के अस्तित्व के बारे में सीखा। मैं आपको याद दिला दूं कि आपने इसे बिंदु दर बिंदु बनाया है। क्या तुम्हें याद है? आपने एक मनमाना संख्या चुना, इसे सूत्र में प्रतिस्थापित किया और इस तरह से गणना की। उदाहरण के लिए, यदि, तब, यदि, तब, आदि। परिणामस्वरूप आपको क्या मिला? और आपको निर्देशांक के साथ अंक प्राप्त हुए: और। फिर आपने एक "क्रॉस" (समन्वय प्रणाली) खींचा, उस पर एक पैमाना चुना (एक खंड के रूप में आपके पास कितने सेल होंगे) और उस पर आपको प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित किया, जिसे आप एक सीधी रेखा से जोड़ते हैं, परिणामी रेखा फ़ंक्शन का ग्राफ है।

कुछ चीजें हैं जिन्हें आपको थोड़ा और विस्तार से समझाने की आवश्यकता है:

1. आप सुविधा के कारणों के लिए एक सेगमेंट चुनते हैं, ताकि तस्वीर में सब कुछ अच्छी तरह से और कॉम्पैक्ट रूप से फिट हो सके

2. यह माना जाता है कि अक्ष बाएँ से दाएँ जाता है, और अक्ष नीचे से ऊपर की ओर जाता है

3. वे एक समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को मूल बिंदु कहते हैं। यह एक पत्र के साथ चिह्नित है।

4. एक बिंदु के निर्देशांक के रिकॉर्ड में, उदाहरण के लिए, कोष्ठक में बाईं ओर अक्ष के साथ बिंदु का समन्वय है, और दाईं ओर, अक्ष के साथ है। विशेष रूप से, बस इसका मतलब है कि बिंदु

5. निर्देशांक अक्ष पर किसी भी बिंदु को सेट करने के लिए, आपको उसके निर्देशांक (2 अंक) निर्दिष्ट करने होंगे

6. अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,

7. अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,

8. अक्ष को x-अक्ष कहा जाता है

9. अक्ष को y-अक्ष कहा जाता है

अब हम आपके साथ अगला कदम उठाते हैं: दो बिंदुओं को चिह्नित करें। इन दोनों बिंदुओं को एक रेखा से जोड़िए। और हम तीर को ऐसे लगाते हैं जैसे हम एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर एक खंड खींच रहे हैं: अर्थात, हम अपने खंड को निर्देशित करेंगे!

याद रखें कि निर्देशित खंड का दूसरा नाम क्या है? यह सही है, इसे वेक्टर कहा जाता है!

इस प्रकार, यदि हम एक बिंदु को एक बिंदु से जोड़ते हैं, और शुरुआत बिंदु A होगी, और अंत बिंदु B होगा,तब हमें एक वेक्टर मिलता है। आपने भी 8वीं कक्षा में किया था ये निर्माण, याद है?

यह पता चला है कि वैक्टर, जैसे बिंदुओं को दो संख्याओं द्वारा निरूपित किया जा सकता है: इन संख्याओं को वेक्टर के निर्देशांक कहा जाता है। प्रश्न: क्या आपको लगता है कि सदिश के आरंभ और अंत के निर्देशांकों को जानना हमारे लिए इसके निर्देशांकों को खोजने के लिए पर्याप्त है? यह पता चला है कि हाँ! और यह करना बहुत आसान है:

इस प्रकार, चूंकि वेक्टर में बिंदु शुरुआत और अंत है, वेक्टर के निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

उदाहरण के लिए, यदि, तो वेक्टर के निर्देशांक

अब इसके विपरीत करते हैं, वेक्टर के निर्देशांक खोजें। इसके लिए हमें क्या बदलने की जरूरत है? हां, आपको शुरुआत और अंत को स्वैप करने की आवश्यकता है: अब वेक्टर की शुरुआत एक बिंदु पर होगी, और अंत एक बिंदु पर होगा। फिर:

बारीकी से देखें, वैक्टर और में क्या अंतर है? उनका अंतर केवल निर्देशांक में संकेत है। वे विपरीत हैं। यह तथ्य इस प्रकार लिखा गया है:

कभी-कभी, यदि यह विशेष रूप से नहीं बताया गया है कि कौन सा बिंदु वेक्टर की शुरुआत है, और कौन सा अंत है, तो वैक्टर को दो बड़े अक्षरों से नहीं, बल्कि एक निचले मामले से दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए :, आदि।

अब थोड़ा अभ्यासऔर निम्नलिखित वैक्टर के निर्देशांक खोजें:

इंतिहान:

अब समस्या को थोड़ा और कठिन हल करें:

एक बिंदु पर ऑन-चा-स्क्रैप के साथ एक वेक्टर टोरस में सह-या-दी-ऑन-यू होता है। ढूँढें-दी-ते abs-cis-su अंक।

वही सब काफी नीरस है: आज्ञा देना बिंदु के निर्देशांक. फिर

मैंने एक वेक्टर के निर्देशांक क्या हैं, यह निर्धारित करके सिस्टम को संकलित किया। फिर बिंदु के निर्देशांक हैं। हम एब्सिस्सा में रुचि रखते हैं। फिर

उत्तर:

आप वैक्टर के साथ और क्या कर सकते हैं? हाँ, लगभग सब कुछ सामान्य संख्याओं के समान ही है (सिवाय इसके कि आप विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप दो तरीकों से गुणा कर सकते हैं, जिनमें से एक की चर्चा हम यहाँ थोड़ी देर बाद करेंगे)

1. वेक्टरों को एक दूसरे के साथ ढेर किया जा सकता है
2. सदिशों को एक दूसरे से घटाया जा सकता है
3. सदिशों को एक मनमाना गैर-शून्य संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जा सकता है
4. वैक्टर को एक दूसरे से गुणा किया जा सकता है

इन सभी कार्यों में काफी दृश्य ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। उदाहरण के लिए, त्रिभुज (या समांतर चतुर्भुज) जोड़ और घटाव का नियम:

किसी संख्या से गुणा या भाग करने पर सदिश फैलता या सिकुड़ता या दिशा बदलता है:

हालांकि, यहां हमें इस सवाल में दिलचस्पी होगी कि निर्देशांक का क्या होता है।

1. दो सदिशों को जोड़ने (घटाने) पर, हम उनके निर्देशांक तत्व को तत्व से जोड़ते (घटाना) करते हैं। अर्थात्:

2. जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है, तो उसके सभी निर्देशांक इस संख्या से गुणा (विभाजित) हो जाते हैं:

उदाहरण के लिए:

· को-या-दी-नट सेंचुरी-टू-आरए का योग खोजें।

आइए पहले प्रत्येक सदिश के निर्देशांक ज्ञात करें। दोनों का उद्गम एक ही है - मूल बिंदु। उनके सिरे अलग हैं। फिर, । अब हम सदिश के निर्देशांकों की गणना करते हैं तो परिणामी सदिश के निर्देशांकों का योग बराबर होता है।

उत्तर:

अब निम्नलिखित समस्या को स्वयं हल करें:

· सदिश के निर्देशांकों का योग ज्ञात कीजिए

हम जाँच:

आइए अब निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: निर्देशांक तल पर हमारे पास दो बिंदु हैं। उनके बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें? पहला बिंदु होने दें, और दूसरा। आइए उनके बीच की दूरी को इस रूप में निरूपित करें। आइए स्पष्टता के लिए निम्नलिखित चित्र बनाएं:

मैंने क्या किया? मैंने, सबसे पहले, बिंदुओं को जोड़ा और, और बिंदु से अक्ष के समानांतर एक रेखा भी खींची, और बिंदु से अक्ष के समानांतर एक रेखा खींची। क्या वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिससे एक अद्भुत आकृति बनती है? वह अद्भुत क्यों है? हाँ, आप और मैं समकोण त्रिभुज के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं। खैर, पाइथागोरस प्रमेय, निश्चित रूप से। वांछित खंड इस त्रिभुज का कर्ण है, और खंड पैर हैं। बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? हां, उन्हें चित्र से खोजना आसान है: चूंकि खंड अक्षों के समानांतर हैं और, क्रमशः, उनकी लंबाई खोजना आसान है: यदि हम खंडों की लंबाई को क्रमशः, के माध्यम से निरूपित करते हैं, तो

अब पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हैं। हम पैरों की लंबाई जानते हैं, हम कर्ण पाएंगे:

इस प्रकार, दो बिंदुओं के बीच की दूरी निर्देशांक से वर्ग अंतर का मूल योग है। या - दो बिंदुओं के बीच की दूरी उन्हें जोड़ने वाले खंड की लंबाई है। यह देखना आसान है कि बिंदुओं के बीच की दूरी दिशा पर निर्भर नहीं करती है। फिर:

इससे हम तीन निष्कर्ष निकालते हैं:

आइए दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने पर थोड़ा अभ्यास करें:

उदाहरण के लिए, यदि, तो और के बीच की दूरी है

या अलग तरीके से चलते हैं: वेक्टर के निर्देशांक खोजें

और वेक्टर की लंबाई पाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह वही है!

अब अपने आप से थोड़ा अभ्यास करें:

कार्य: दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाएं:

हम जाँच:

यहां समान सूत्र के लिए कुछ और समस्याएं दी गई हैं, हालांकि वे थोड़ी भिन्न हैं:

1. पलक-से-रा की लंबाई का वर्ग खोजें।

2. पलक की लंबाई-से-रा . का नया-दी-ते वर्ग

मुझे लगता है कि आप उन्हें आसानी से संभाल सकते हैं? हम जाँच:

1. और यह चौकसता के लिए है) हम पहले ही वैक्टर के निर्देशांक पा चुके हैं: । तब वेक्टर के निर्देशांक होते हैं। इसकी लंबाई का वर्ग होगा:

2. वेक्टर के निर्देशांक खोजें

तो इसकी लंबाई का वर्ग है

कुछ भी जटिल नहीं है, है ना? सरल अंकगणित, और कुछ नहीं।

निम्नलिखित पहेलियों को स्पष्ट रूप से वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है, वे सामान्य ज्ञान और सरल चित्र खींचने की क्षमता के लिए हैं।

1. एब्सिस्सा अक्ष के साथ, ऑन-क्लो-ऑन-फ्रॉम-कट, कनेक्ट-वन-एन-वें-वें बिंदु के कोण के उन साइन को खोजें।

तथा

हम इसे यहाँ कैसे करने जा रहे हैं? आपको कोण और अक्ष के बीच की ज्या ज्ञात करने की आवश्यकता है। और हम साइन की तलाश कहाँ कर सकते हैं? यह सही है, एक समकोण त्रिभुज में। तो हमें क्या करने की ज़रूरत है? इस त्रिभुज का निर्माण करें!

चूंकि बिंदु के निर्देशांक और, फिर खंड बराबर है, और खंड। हमें कोण की ज्या ज्ञात करनी है। आपको याद दिला दूं कि ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है, तो

हम क्या करने के लिए बचे हैं? कर्ण ज्ञात कीजिए। आप इसे दो तरीकों से कर सकते हैं: पाइथागोरस प्रमेय (पैर ज्ञात हैं!) का उपयोग करना या दो बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करना (वास्तव में पहली विधि के समान!)। मैं दूसरा रास्ता जाऊंगा:

उत्तर:

अगला काम आपको और भी आसान लगेगा। वह - बिंदु के निर्देशांक पर।

कार्य 2.बिंदु से, प्रति-पेन-दी-कु-लार को एब्स-सिस अक्ष पर उतारा जाता है। नई-दी-ते एब्स-सीआईएस-सु ओएस-नो-वा-निया प्रति-पेन-दी-कु-ला-रा।

आइए एक चित्र बनाएं:

लंब का आधार वह बिंदु है जिस पर यह x-अक्ष (अक्ष) को काटता है मेरे लिए यह एक बिंदु है। चित्र से पता चलता है कि इसके निर्देशांक हैं: . हम एब्सिस्सा में रुचि रखते हैं - यानी "एक्स" घटक। वह बराबर है।

उत्तर: .

कार्य 3.पिछली समस्या की शर्तों के तहत, बिंदु से निर्देशांक अक्षों तक की दूरी का योग ज्ञात कीजिए।

कार्य आम तौर पर प्राथमिक होता है यदि आप जानते हैं कि एक बिंदु से कुल्हाड़ियों की दूरी क्या है। आपको पता है? मुझे आशा है, लेकिन फिर भी मैं आपको याद दिलाता हूं:

तो, मेरी ड्राइंग में, थोड़ा अधिक स्थित, मैंने पहले से ही एक ऐसे लंबवत का चित्रण किया है? यह कौन सी धुरी है? धुरी को। और फिर इसकी लंबाई क्या है? वह बराबर है। अब स्वयं अक्ष पर एक लंब खींचिए और उसकी लंबाई ज्ञात कीजिए। यह बराबर होगा, है ना? तब उनका योग बराबर होता है।

उत्तर: .

कार्य 4.समस्या 2 की स्थितियों में, x-अक्ष के परितः बिंदु के सममित बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए।

मुझे लगता है कि आप सहज रूप से समझते हैं कि समरूपता क्या है? बहुत सारी वस्तुओं में यह है: कई इमारतें, टेबल, विमान, कई ज्यामितीय आकार: एक गेंद, एक सिलेंडर, एक वर्ग, एक समचतुर्भुज, आदि। मोटे तौर पर, समरूपता को इस प्रकार समझा जा सकता है: एक आकृति में दो (या अधिक) होते हैं। समान आधा। इस समरूपता को अक्षीय कहा जाता है। फिर अक्ष क्या है? यह ठीक वह रेखा है जिसके साथ आकृति, अपेक्षाकृत बोलकर, समान हिस्सों में "कट" हो सकती है (इस चित्र में, समरूपता की धुरी सीधी है):

अब चलो अपने काम पर वापस आते हैं। हम जानते हैं कि हम एक ऐसे बिंदु की तलाश कर रहे हैं जो अक्ष के बारे में सममित हो। तब यह अक्ष सममिति की धुरी है। इसलिए, हमें एक बिंदु को चिह्नित करने की आवश्यकता है ताकि अक्ष खंड को दो बराबर भागों में काट दे। ऐसे बिंदु को स्वयं चिह्नित करने का प्रयास करें। अब मेरे समाधान से तुलना करें:

क्या आपने ऐसा ही किया? अच्छा! पाया बिंदु पर, हम कोटि में रुचि रखते हैं। वह बराबर है

उत्तर:

अब मुझे बताओ, एक सेकंड के लिए सोचने के बाद, y-अक्ष के बारे में बिंदु A के सममित बिंदु का भुज क्या होगा? आपका जवाब क्या है? सही उत्तर: ।

सामान्य तौर पर, नियम इस तरह लिखा जा सकता है:

एक्स-अक्ष के बारे में एक बिंदु के सममित बिंदु में निर्देशांक होते हैं:

y-अक्ष के किसी बिंदु के सममित बिंदु के निर्देशांक होते हैं:

खैर, अब यह वाकई डरावना है। टास्क: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु के सापेक्ष किसी बिंदु के सममित हो। आप पहले अपने लिए सोचें, और फिर मेरे चित्र को देखें!

उत्तर:

अभी समांतर चतुर्भुज समस्या:

टास्क 5: अंक हैं ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma। ढूँढें-डी-ते या-डी-ऑन-टू अंक।

आप इस समस्या को दो तरीकों से हल कर सकते हैं: तर्क और समन्वय विधि। मैं पहले निर्देशांक विधि लागू करूंगा, और फिर मैं आपको बताऊंगा कि आप अन्यथा कैसे निर्णय ले सकते हैं।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि बिंदु का भुज बराबर है। (यह बिंदु से x-अक्ष पर खींचे गए लंब पर स्थित है)। हमें निर्देशांक खोजने की जरूरत है। आइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि हमारी आकृति एक समांतर चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है कि। दो बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करके खंड की लंबाई पाएं:

हम बिंदु को अक्ष से जोड़ने वाले लंबवत को कम करते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु को एक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

खंड की लंबाई बराबर है। (समस्या का पता लगाएं, जहां हमने इस क्षण पर चर्चा की थी), फिर हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खंड की लंबाई पाएंगे:

खंड की लंबाई बिल्कुल उसके कोटि के समान है।

उत्तर: .

एक और समाधान (मैं सिर्फ एक तस्वीर प्रदान करूंगा जो इसे दिखाता है)

समाधान प्रगति:

1. खर्च

2. बिंदु निर्देशांक और लंबाई खोजें

3. सिद्ध कीजिए।

एक और लंबाई काटने की समस्या:

अंक हैं-ला-युत-ज़िया टॉप-शि-ऑन-मील त्रि-कोण-नो-का। उसकी मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए, par-ral-lel-noy।

क्या आपको याद है कि त्रिभुज की मध्य रेखा क्या होती है? तब आपके लिए यह कार्य प्राथमिक है। अगर आपको याद नहीं है, तो मैं आपको याद दिला दूं: त्रिभुज की मध्य रेखा एक ऐसी रेखा है जो विपरीत पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। यह आधार के समानांतर है और इसके आधे के बराबर है।

आधार एक खंड है। हमें इसकी लंबाई पहले देखनी थी, यह बराबर है। तब मध्य रेखा की लंबाई आधी लंबी और बराबर होती है।

उत्तर: .

टिप्पणी: इस समस्या को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, जिसे हम थोड़ी देर बाद देखेंगे।

इस बीच, यहां आपके लिए कुछ कार्य हैं, उन पर अभ्यास करें, वे काफी सरल हैं, लेकिन वे समन्वय विधि का उपयोग करके "अपना हाथ भरने" में मदद करते हैं!

1. अंक दिखाई देते हैं-ला-युत-ज़िया टॉप-शि-ऑन-मील ट्रै-पे-टियन। इसकी मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

2. अंक और यव-ला-युत-ज़िया वेर-शि-ना-मील पा-राल-ले-लो-ग्राम-मा। ढूँढें-डी-ते या-डी-ऑन-टू अंक।

3. कट से लंबाई ज्ञात कीजिए, दूसरे बिंदु को जोड़िए और

4. ko-or-di-nat-noy प्लेन पर रेड-शेन-नोय फाई-गु-रे के लिए क्षेत्र खोजें-दी-ते।

5. na-cha-le ko-or-di-nat पर केंद्रित एक वृत्त एक बिंदु से होकर गुजरता है। ढूँढें-दे-ते उसकी रा-दी-मूंछें।

6. नई-दी-ते रा-दी-उस सर्कल-नो-स्टी, वर्णन-सान-नोय समकोण-नो-का के पास, कुछ-रो-गो के टॉप-शि-एन में सह-या - दी-ना-आप सह-से-उत्तर-लेकिन

समाधान:

1. यह ज्ञात है कि एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा उसके आधारों के योग के आधे के बराबर होती है। आधार बराबर है, लेकिन आधार। फिर

उत्तर:

2. इस समस्या को हल करने का सबसे आसान तरीका यह देखना है कि (समांतर चतुर्भुज नियम)। वैक्टर के निर्देशांक की गणना करें और मुश्किल नहीं है:। वैक्टर जोड़ते समय, निर्देशांक जोड़े जाते हैं। फिर निर्देशांक हैं। बिंदु के निर्देशांक समान हैं, क्योंकि वेक्टर की शुरुआत निर्देशांक वाला एक बिंदु है। हम निर्देशांक में रुचि रखते हैं। वह बराबर है।

उत्तर:

3. हम दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र के अनुसार तुरंत कार्य करते हैं:

उत्तर:

4. चित्र को देखिए और बताइए कि किन दो आकृतियों के बीच छायांकित क्षेत्र "निचोड़ा हुआ" है? यह दो वर्गों के बीच सैंडविच है। फिर वांछित आकृति का क्षेत्रफल छोटे वर्ग के क्षेत्रफल घटाकर बड़े वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है। छोटे वर्ग की भुजा बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है और इसकी लंबाई है

तो छोटे वर्ग का क्षेत्रफल है

हम एक बड़े वर्ग के साथ भी ऐसा ही करते हैं: इसका पक्ष बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है और इसकी लंबाई बराबर है

तब बड़े वर्ग का क्षेत्रफल है

वांछित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

उत्तर:

5. यदि वृत्त का उद्गम केंद्र है और यह एक बिंदु से होकर जाता है, तो इसकी त्रिज्या खंड की लंबाई के बिल्कुल बराबर होगी (एक चित्र बनाएं और आप समझ जाएंगे कि यह स्पष्ट क्यों है)। इस खंड की लंबाई पाएं:

उत्तर:

6. यह ज्ञात है कि एक आयत के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या उसके विकर्ण के आधे के बराबर होती है। आइए दो विकर्णों में से किसी की लंबाई ज्ञात करें (आखिरकार, एक आयत में वे बराबर होते हैं!)

उत्तर:

अच्छा, क्या आपने सब कुछ मैनेज कर लिया? यह पता लगाना इतना कठिन नहीं था, है ना? यहां केवल एक नियम है - एक दृश्य चित्र बनाने में सक्षम होने के लिए और इससे सभी डेटा को "पढ़ें"।

हमारे पास बहुत कम बचा है। वस्तुतः दो और बिंदु हैं जिन पर मैं चर्चा करना चाहूंगा।

आइए इस सरल समस्या को हल करने का प्रयास करें। दो अंक दें और दिया जाए। खंड के मध्य के निर्देशांक खोजें। इस समस्या का समाधान इस प्रकार है: बिंदु को वांछित मध्य होने दें, फिर उसके निर्देशांक हैं:

अर्थात्: खंड के मध्य के निर्देशांक = खंड के सिरों के संगत निर्देशांक का अंकगणितीय माध्य।

यह नियम बहुत सरल है और आमतौर पर छात्रों के लिए कठिनाई का कारण नहीं बनता है। आइए देखें कि किन समस्याओं में और इसका उपयोग कैसे किया जाता है:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point और

2. अंक हैं यव-ला-युत-ज़िया वेर-शि-ना-मी-चे-यू-रेह-कोयला-नो-का। उसके दीया-गो-ऑन-लेई के री-रे-से-चे-निया के फाइंड-दी-ते या-दी-ना-तू अंक।

3. सर्कल के केंद्र के लिए खोजें-दी-ते एब्स-सीआईएस-सु, वर्णन-सान-नॉय आयत-नो-का के पास, सबसे ऊपर-शि-हमारे पास कुछ-रो-गो सह-या-दी- ना-आप सह-से-पशु चिकित्सक-स्टेवेननो-लेकिन।

समाधान:

1. पहला काम सिर्फ एक क्लासिक है। हम खंड के मध्य बिंदु का निर्धारण करके तुरंत कार्य करते हैं। उसके पास निर्देशांक हैं। कोटि बराबर है।

उत्तर:

2. यह देखना आसान है कि दिया गया चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है (यहां तक ​​कि एक समचतुर्भुज भी!)। आप पक्षों की लंबाई की गणना करके और उनकी एक दूसरे के साथ तुलना करके इसे स्वयं सिद्ध कर सकते हैं। मुझे समांतर चतुर्भुज के बारे में क्या पता है? इसके विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से समद्विभाजित किया जाता है! आह! तो विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु क्या है? यह किसी भी विकर्ण का मध्य है! मैं, विशेष रूप से, विकर्ण चुनूंगा। तब बिंदु के निर्देशांक होते हैं। बिंदु की कोटि किसके बराबर होती है।

उत्तर:

3. आयत के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र क्या है? यह इसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ मेल खाता है। आयत के विकर्णों के बारे में आप क्या जानते हैं? वे बराबर हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित है। कार्य को पिछले एक तक कम कर दिया गया है। उदाहरण के लिए, विकर्ण लें। फिर यदि परिबद्ध वृत्त का केंद्र है, तो मध्य है। मैं निर्देशांक ढूंढ रहा हूं: भुज बराबर है।

उत्तर:

अब आप अपने आप से थोड़ा अभ्यास करें, मैं केवल प्रत्येक समस्या का उत्तर दूंगा ताकि आप स्वयं को जांच सकें।

1. नई-दी-ते रा-दी-उस सर्कल-नो-स्टी, वर्णन-सान-नोय त्रिकोण-नो-का के पास, किसी-रो-गो के शीर्ष में को-या-दी-नो मिस्टर्स हैं

2. Find-di-te or-di-na-tu सर्कल का केंद्र, त्रिभुज-नो-का के पास सान-नॉय का वर्णन करें, टॉप-शि-हमारे पास कुछ-रो-गो निर्देशांक हैं

3. किस तरह का ra-di-y-sa एक ऐसा वृत्त होना चाहिए जिसमें एक बिंदु पर एक केंद्र हो ताकि वह एब्स-सिस अक्ष को स्पर्श करे?

4. अक्ष के री-री-से-चे-इंग और फ्रॉम-कट, कनेक्ट-न्या-यू-थ-वें बिंदु और

उत्तर:

क्या सब कुछ ठीक हो गया? मुझे वास्तव में इसकी उम्मीद है! अब - आखिरी धक्का। अब विशेष रूप से सावधान रहें। अब मैं जिस सामग्री की व्याख्या करने जा रहा हूं वह न केवल भाग बी में सरल समन्वय विधि की समस्याओं के लिए प्रासंगिक है, बल्कि समस्या सी 2 में भी सर्वव्यापी है।

मैंने अपना कौन सा वादा अभी तक पूरा नहीं किया है? याद रखें कि मैंने वैक्टर पर कौन से ऑपरेशन शुरू करने का वादा किया था और आखिरकार मैंने कौन से ऑपरेशन शुरू किए? क्या मुझे यकीन है कि मैं कुछ भी नहीं भूला हूँ? भूल गया! मैं यह बताना भूल गया कि वैक्टर के गुणन का क्या मतलब है।

किसी सदिश को सदिश से गुणा करने के दो तरीके हैं। चुनी हुई विधि के आधार पर, हमें एक अलग प्रकृति की वस्तुएँ मिलेंगी:

वेक्टर उत्पाद काफी मुश्किल है। यह कैसे करना है और इसकी आवश्यकता क्यों है, हम आपके साथ अगले लेख में चर्चा करेंगे। और इसमें हम अदिश उत्पाद पर ध्यान देंगे।

पहले से ही दो तरीके हैं जो हमें इसकी गणना करने की अनुमति देते हैं:

जैसा आपने अनुमान लगाया, परिणाम वही होना चाहिए! तो आइए पहले पहले तरीके को देखें:

निर्देशांक के माध्यम से डॉट उत्पाद

ढूँढें: - डॉट उत्पाद के लिए सामान्य संकेतन

गणना का सूत्र इस प्रकार है:

यानी डॉट उत्पाद = वैक्टर के निर्देशांक के उत्पादों का योग!

उदाहरण:

फाइंड-डी-ते

समाधान:

प्रत्येक वेक्टर के निर्देशांक खोजें:

हम सूत्र द्वारा अदिश उत्पाद की गणना करते हैं:

उत्तर:

आप देखिए, कुछ भी जटिल नहीं है!

अच्छा, अब इसे स्वयं आजमाएँ:

फाइंड-डी-ते स्केलर-नो प्रो-फ्रॉम-वे-डी-नी शताब्दी-टू-डिच और

क्या आप संभाल पाओगे? शायद उसने एक छोटी सी चाल पर ध्यान दिया? चलो जांचते हैं:

वेक्टर निर्देशांक, जैसा कि पिछले कार्य में है! उत्तर: ।

निर्देशांक के अलावा, स्केलर उत्पाद की गणना करने का एक और तरीका है, अर्थात्, वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन के माध्यम से:

वैक्टर और के बीच के कोण को दर्शाता है।

अर्थात्, अदिश उत्पाद सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है।

हमें इस दूसरे सूत्र की आवश्यकता क्यों है, यदि हमारे पास पहला है, जो बहुत सरल है, कम से कम इसमें कोई कोसाइन नहीं हैं। और हमें इसकी आवश्यकता है ताकि पहले और दूसरे फ़ार्मुलों से हम यह पता लगा सकें कि वैक्टर के बीच के कोण को कैसे खोजा जाए!

फिर एक सदिश की लंबाई का सूत्र याद रखें!

फिर अगर मैं इस डेटा को डॉट उत्पाद सूत्र में प्लग करता हूं, तो मुझे मिलता है:

लेकिन दूसरे तरीके से:

तो हमारे पास क्या है? अब हमारे पास दो सदिशों के बीच के कोण की गणना करने का एक सूत्र है! कभी-कभी संक्षिप्तता के लिए इस प्रकार भी लिखा जाता है:

अर्थात्, वैक्टर के बीच के कोण की गणना के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. हम निर्देशांक के माध्यम से अदिश उत्पाद की गणना करते हैं
2. वैक्टर की लंबाई पाएं और उन्हें गुणा करें
3. बिंदु 1 के परिणाम को बिंदु 2 के परिणाम से विभाजित करें

आइए उदाहरणों के साथ अभ्यास करें:

1. पलकों-से-रा-मील और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

2. पिछली समस्या की शर्तों के तहत, वैक्टर के बीच कोसाइन का पता लगाएं

आइए इसे करते हैं: मैं पहली समस्या को हल करने में आपकी मदद करूँगा, और दूसरी समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करूँगा! मैं सहमत हूँ? तो चलिए शुरू करते हैं!

1. ये वैक्टर हमारे पुराने दोस्त हैं। हम पहले ही उनके अदिश गुणनफल पर विचार कर चुके हैं और यह बराबर था। उनके निर्देशांक हैं: , . तब हम उनकी लंबाई पाते हैं:

फिर हम वैक्टर के बीच कोसाइन की तलाश कर रहे हैं:

कोण की कोज्या क्या है? यह कोना है।

उत्तर:

खैर, अब दूसरी समस्या को स्वयं हल करें, और फिर तुलना करें! मैं बस एक बहुत छोटा समाधान दूंगा:

2. निर्देशांक हैं, निर्देशांक हैं।

मान लीजिए कि सदिशों के बीच का कोण है और, तब

उत्तर:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीधे वैक्टर पर कार्य और परीक्षा पेपर के भाग बी में निर्देशांक की विधि काफी दुर्लभ है। हालाँकि, C2 समस्याओं के विशाल बहुमत को एक समन्वय प्रणाली शुरू करके आसानी से हल किया जा सकता है। तो आप इस लेख को एक आधार मान सकते हैं, जिसके आधार पर हम काफी पेचीदा रचनाएँ करेंगे जिन्हें हमें जटिल समस्याओं को हल करने की आवश्यकता होगी।

निर्देशांक और वैक्टर। मध्यवर्ती स्तर

हम और आप निर्देशांक की विधि का अध्ययन जारी रखते हैं। पिछले भाग में, हमने कई महत्वपूर्ण सूत्र निकाले जो अनुमति देते हैं:

1. वेक्टर निर्देशांक खोजें
2. एक वेक्टर की लंबाई पाएं (वैकल्पिक रूप से: दो बिंदुओं के बीच की दूरी)
3. वैक्टर जोड़ें, घटाएं। उन्हें वास्तविक संख्या से गुणा करें
4. एक खंड के मध्य बिंदु का पता लगाएं
5. वैक्टर के डॉट उत्पाद की गणना करें
6. वैक्टर के बीच का कोण खोजें

बेशक, संपूर्ण समन्वय विधि इन 6 बिंदुओं में फिट नहीं होती है। यह विश्लेषणात्मक ज्यामिति जैसे विज्ञान का आधार है, जिससे आप विश्वविद्यालय में परिचित होंगे। मैं सिर्फ एक नींव बनाना चाहता हूं जो आपको एक ही राज्य में समस्याओं को हल करने की अनुमति देगा। परीक्षा। हमने भाग बी के कार्यों को समझ लिया अब गुणात्मक रूप से नए स्तर पर जाने का समय आ गया है! यह लेख उन सी 2 समस्याओं को हल करने के लिए एक विधि के लिए समर्पित होगा जिसमें समन्वय विधि पर स्विच करना उचित होगा। यह तार्किकता इस बात से निर्धारित होती है कि समस्या में क्या पाया जाना चाहिए और कौन सा आंकड़ा दिया गया है। इसलिए, यदि प्रश्न हैं तो मैं समन्वय विधि का उपयोग करूंगा:

1. दो तलों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
2. एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
3. दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
4. एक बिंदु से एक समतल की दूरी ज्ञात करें
5. एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात कीजिए
6. एक सीधी रेखा से समतल की दूरी ज्ञात कीजिए
7. दो रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यदि समस्या की स्थिति में दी गई आकृति क्रांति का पिंड है (गेंद, बेलन, शंकु...)

निर्देशांक विधि के लिए उपयुक्त आंकड़े हैं:

1. घनाभ
2. पिरामिड (त्रिकोणीय, चतुर्भुज, षट्कोणीय)

मेरे अनुभव में भी समन्वय विधि का उपयोग करना अनुचित है:

1. वर्गों के क्षेत्रों का पता लगाना
2. निकायों की मात्रा की गणना

हालांकि, यह तुरंत ध्यान दिया जाना चाहिए कि समन्वय विधि के लिए तीन "प्रतिकूल" स्थितियां व्यवहार में काफी दुर्लभ हैं। अधिकांश कार्यों में, यह आपका तारणहार बन सकता है, खासकर यदि आप त्रि-आयामी निर्माणों में बहुत मजबूत नहीं हैं (जो कभी-कभी काफी जटिल होते हैं)।

मैंने ऊपर सूचीबद्ध सभी आंकड़े क्या हैं? वे अब समतल नहीं हैं, जैसे कि एक वर्ग, त्रिभुज, वृत्त, लेकिन बड़ा! तदनुसार, हमें द्वि-आयामी नहीं, बल्कि त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली पर विचार करने की आवश्यकता है। यह काफी आसानी से बनाया गया है: बस एब्सिस्सा और कोर्डिनेट्स के अलावा, हम एक और एक्सिस, एप्लिकेट एक्सिस का परिचय देंगे। आंकड़ा योजनाबद्ध रूप से उनकी सापेक्ष स्थिति दिखाता है:

ये सभी परस्पर लंबवत हैं, एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे हम मूल बिंदु कहेंगे। भुज अक्ष, पहले की तरह, निरूपित किया जाएगा, कोटि अक्ष - , और लागू अनुप्रयुक्त अक्ष - ।

यदि पहले विमान के प्रत्येक बिंदु को दो संख्याओं की विशेषता थी - एब्सिस्सा और कोर्डिनेट, तो अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को पहले से ही तीन नंबरों द्वारा वर्णित किया गया है - एब्सिस्सा, ऑर्डिनेट, एप्लिकेट। उदाहरण के लिए:

तदनुसार, बिंदु का भुज बराबर है, कोटि है, और अनुप्रयुक्त है।

कभी-कभी किसी बिंदु के एब्सिस्सा को एब्सिस्सा अक्ष पर बिंदु का प्रक्षेपण भी कहा जाता है, कोर्डिनेट y-अक्ष पर बिंदु का प्रक्षेपण होता है, और एप्लिकेट एप्लिकेट अक्ष पर बिंदु का प्रक्षेपण होता है। तदनुसार, यदि एक बिंदु दिया जाता है, तो निर्देशांक वाला एक बिंदु:

एक विमान पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कहा जाता है

एक विमान पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कहा जाता है

एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: क्या द्वि-आयामी मामले के लिए व्युत्पन्न सभी सूत्र अंतरिक्ष में मान्य हैं? इसका उत्तर है हां, वे न्यायसंगत हैं और उनका रूप एक जैसा है। एक छोटे से विवरण के लिए। मुझे लगता है कि आप पहले ही अनुमान लगा चुके हैं कि कौन सा है। सभी सूत्रों में, हमें अनुप्रयुक्त अक्ष के लिए उत्तरदायी एक और पद जोड़ना होगा। अर्थात्।

1. यदि दो बिंदु दिए गए हैं: , तो:

• वेक्टर निर्देशांक:
• दो बिंदुओं के बीच की दूरी (या वेक्टर लंबाई)
• खंड के मध्य में निर्देशांक हैं

2. यदि दो सदिश दिए गए हैं: और, तो:

• उनका डॉट उत्पाद है:
• सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है:

हालांकि, अंतरिक्ष इतना आसान नहीं है। जैसा कि आप समझते हैं, एक और समन्वय के अलावा इस अंतरिक्ष में "जीवित" आंकड़ों के स्पेक्ट्रम में एक महत्वपूर्ण विविधता का परिचय देता है। और आगे के वर्णन के लिए, मुझे कुछ, मोटे तौर पर, सीधी रेखा के "सामान्यीकरण" का परिचय देना होगा। यह "सामान्यीकरण" एक विमान होगा। प्लेन के बारे में आप क्या जानते हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें कि विमान क्या है? कहना बहुत मुश्किल है। हालाँकि, हम सभी सहज रूप से कल्पना करते हैं कि यह कैसा दिखता है:

मोटे तौर पर, यह अंतरिक्ष में एक तरह का अंतहीन "पत्ता" है। "अनंत" को समझना चाहिए कि विमान सभी दिशाओं में फैला हुआ है, अर्थात इसका क्षेत्रफल अनंत के बराबर है। हालांकि, "उंगलियों पर" यह स्पष्टीकरण विमान की संरचना के बारे में थोड़ा सा भी विचार नहीं देता है। और हम इसमें रुचि लेंगे।

आइए ज्यामिति के मूल सिद्धांतों में से एक को याद करें:

• एक सीधी रेखा समतल पर दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है, इसके अलावा, केवल एक:

या अंतरिक्ष में इसका एनालॉग:

बेशक, आपको याद है कि दो दिए गए बिंदुओं से एक सीधी रेखा का समीकरण कैसे निकाला जाता है, यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है: यदि पहले बिंदु में निर्देशांक हैं: और दूसरा, तो सीधी रेखा का समीकरण इस प्रकार होगा:

आप 7वीं कक्षा में इससे गुजरे हैं। अंतरिक्ष में, एक सीधी रेखा का समीकरण इस तरह दिखता है: हमें निर्देशांक के साथ दो बिंदु मिलते हैं: , तो उनसे गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है:

उदाहरण के लिए, एक रेखा बिंदुओं से होकर गुजरती है:

इसे कैसे समझा जाना चाहिए? इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: एक बिंदु एक रेखा पर स्थित होता है यदि इसके निर्देशांक निम्नलिखित प्रणाली को संतुष्ट करते हैं:

हम एक सीधी रेखा के समीकरण में बहुत रुचि नहीं लेंगे, लेकिन हमें एक सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर की बहुत महत्वपूर्ण अवधारणा पर ध्यान देने की आवश्यकता है। - कोई भी गैर-शून्य वेक्टर किसी दी गई रेखा पर या उसके समानांतर होता है।

उदाहरण के लिए, दोनों सदिश एक सीधी रेखा के दिशा सदिश हैं। आज्ञा देना एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु हो, और इसका निर्देशन सदिश हो। तब एक सीधी रेखा के समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

एक बार फिर, मुझे सीधी रेखा के समीकरण में बहुत दिलचस्पी नहीं होगी, लेकिन मुझे वास्तव में आपको यह याद रखने की ज़रूरत है कि दिशा वेक्टर क्या है! फिर से: यह कोई भी शून्येतर सदिश है जो किसी रेखा पर या उसके समानांतर स्थित है।

निकालना समतल का त्रि-बिंदु समीकरणअब इतना तुच्छ नहीं है, और आमतौर पर हाई स्कूल के पाठ्यक्रम में शामिल नहीं किया जाता है। परन्तु सफलता नहीं मिली! जब हम जटिल समस्याओं को हल करने के लिए समन्वय पद्धति का सहारा लेते हैं तो यह तकनीक महत्वपूर्ण होती है। हालाँकि, मुझे लगता है कि आप कुछ नया सीखने की इच्छा से भरे हुए हैं? इसके अलावा, आप विश्वविद्यालय में अपने शिक्षक को प्रभावित करने में सक्षम होंगे जब यह पता चलेगा कि आप पहले से ही उस तकनीक का उपयोग करना जानते हैं जिसका आमतौर पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति के पाठ्यक्रम में अध्ययन किया जाता है। तो चलो शुरू करते है।

एक समतल का समीकरण समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण से बहुत भिन्न नहीं होता है, अर्थात् इसका रूप होता है:

कुछ संख्याएँ (सभी शून्य के बराबर नहीं), लेकिन चर, उदाहरण के लिए: आदि। जैसा कि आप देख सकते हैं, एक समतल का समीकरण एक सीधी रेखा (रैखिक फलन) के समीकरण से बहुत अलग नहीं है। हालाँकि, याद रखें कि हमने आपसे क्या बहस की थी? हमने कहा कि यदि हमारे पास तीन बिंदु हैं जो एक सीधी रेखा पर नहीं हैं, तो विमान का समीकरण उनसे विशिष्ट रूप से बहाल हो जाता है। पर कैसे? मैं आपको समझाने की कोशिश करूंगा।

चूंकि समतल समीकरण है:

और बिंदु इस विमान के हैं, फिर प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक को विमान के समीकरण में प्रतिस्थापित करते समय, हमें सही पहचान मिलनी चाहिए:

इस प्रकार, अज्ञात के साथ पहले से ही तीन समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है! दुविधा! हालाँकि, हम हमेशा यह मान सकते हैं कि (इसके लिए हमें विभाजित करने की आवश्यकता है)। इस प्रकार, हमें तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरण मिलते हैं:

हालाँकि, हम ऐसी प्रणाली को हल नहीं करेंगे, लेकिन इसके बाद आने वाली गुप्त अभिव्यक्ति को लिखेंगे:

दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण

\[\बाएं| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(सरणी)) \दाएं| = 0\]

विराम! यह और क्या है? कुछ बहुत ही असामान्य मॉड्यूल! हालाँकि, जो वस्तु आप अपने सामने देखते हैं उसका मॉड्यूल से कोई लेना-देना नहीं है। इस वस्तु को तृतीय-क्रम निर्धारक कहा जाता है। अब से, जब आप किसी समतल पर निर्देशांकों की विधि का अध्ययन करते हैं, तो आप प्रायः इन्हीं सारणिकों से रूबरू होंगे। तीसरा क्रम निर्धारक क्या है? अजीब तरह से, यह सिर्फ एक संख्या है। यह समझना बाकी है कि हम सारणिक के साथ किस विशिष्ट संख्या की तुलना करेंगे।

आइए पहले तीसरे क्रम के निर्धारक को अधिक सामान्य रूप में लिखें:

कुछ नंबर कहां हैं। इसके अलावा, पहले सूचकांक से हमारा मतलब पंक्ति संख्या से है, और सूचकांक से - स्तंभ संख्या। उदाहरण के लिए, इसका अर्थ है कि दी गई संख्या दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ के प्रतिच्छेदन पर है। आइए निम्नलिखित प्रश्न करें: हम वास्तव में इस तरह के एक निर्धारक की गणना कैसे करने जा रहे हैं? यानी हम इसकी तुलना किस विशिष्ट संख्या से करेंगे? ठीक तीसरे क्रम के निर्धारक के लिए, एक अनुमानी (दृश्य) त्रिभुज नियम है, यह इस तरह दिखता है:

1. मुख्य विकर्ण के तत्वों का उत्पाद (ऊपरी बाएं से निचले दाएं) उन तत्वों का उत्पाद जो मुख्य विकर्ण के लिए पहला त्रिभुज "लंबवत" बनाते हैं, उन तत्वों का उत्पाद जो दूसरे त्रिभुज को "लंबवत" बनाते हैं। विकर्ण
2. द्वितीयक विकर्ण के तत्वों का गुणनफल (ऊपरी दाएँ से निचले बाएँ तक) उन तत्वों का गुणनफल जो द्वितीयक विकर्ण के लिए पहला त्रिभुज "लंबवत" बनाते हैं, दूसरा त्रिभुज "लंबवत" बनाने वाले तत्वों का गुणनफल द्वितीयक विकर्ण
3. तब निर्धारक चरण पर प्राप्त मूल्यों के बीच के अंतर के बराबर होता है और

यदि हम यह सब संख्याओं में लिखते हैं, तो हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है:

हालाँकि, आपको इस रूप में गणना पद्धति को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, यह केवल त्रिकोणों को अपने सिर में रखने के लिए पर्याप्त है और इस बात का बहुत विचार है कि क्या जोड़ा जाता है और फिर क्या घटाया जाता है)।

आइए एक उदाहरण के साथ त्रिभुज विधि का वर्णन करें:

1. सारणिक की गणना करें:

आइए जानें कि हम क्या जोड़ते हैं और क्या घटाते हैं:

"प्लस" के साथ आने वाली शर्तें:

यह मुख्य विकर्ण है: तत्वों का गुणनफल है

पहला त्रिभुज, "मुख्य विकर्ण के लंबवत: तत्वों का गुणनफल है

दूसरा त्रिभुज, "मुख्य विकर्ण के लंबवत: तत्वों का गुणनफल है

हम तीन नंबर जोड़ते हैं:

शब्द जो "माइनस" के साथ आते हैं

यह एक पार्श्व विकर्ण है: तत्वों का गुणनफल है

पहला त्रिभुज, "द्वितीयक विकर्ण के लंबवत: तत्वों का गुणनफल है

दूसरा त्रिभुज, "द्वितीयक विकर्ण के लंबवत: तत्वों का गुणनफल है

हम तीन नंबर जोड़ते हैं:

जो कुछ किया जाना बाकी है, वह है प्लस शब्दों के योग से घटाकर घटाना:

इस तरह,

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना में कुछ भी जटिल और अलौकिक नहीं है। केवल त्रिभुजों के बारे में याद रखना महत्वपूर्ण है न कि अंकगणितीय गलतियाँ करना। अब खुद की गणना करने का प्रयास करें:

हम जाँच:

1. मुख्य विकर्ण के लंबवत पहला त्रिभुज:
2. मुख्य विकर्ण के लंबवत दूसरा त्रिभुज:
3. प्लस शर्तों का योग:
4. भुजा के विकर्ण पर लंबवत पहला त्रिभुज:
5. दूसरा त्रिभुज, भुजा के विकर्ण के लंबवत:
6. माइनस के साथ शर्तों का योग:
7. जमा पदों का योग घटा ऋण पदों का योग:

यहां आपके लिए कुछ और निर्धारक हैं, उनके मूल्यों की गणना स्वयं करें और उत्तरों की तुलना करें:

उत्तर:

अच्छा, क्या सब कुछ मेल खाता था? बढ़िया, तो आप आगे बढ़ सकते हैं! यदि कठिनाइयाँ हैं, तो मेरी सलाह यह है: इंटरनेट पर ऑनलाइन निर्धारक की गणना के लिए कार्यक्रमों का एक समूह है। आपको केवल अपने स्वयं के निर्धारक के साथ आने की जरूरत है, इसकी गणना स्वयं करें, और फिर इसकी तुलना प्रोग्राम की गणना के साथ करें। और इसी तरह जब तक परिणाम मिलना शुरू नहीं हो जाते। मुझे यकीन है कि यह क्षण आने में लंबा नहीं होगा!

अब हम उस सारणिक पर लौटते हैं जिसे मैंने तब लिखा था जब मैंने दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के समीकरण के बारे में बात की थी:

आपको बस इतना करना है कि सीधे इसके मूल्य की गणना करें (त्रिकोण विधि का उपयोग करके) और परिणाम को शून्य के बराबर सेट करें। स्वाभाविक रूप से, चूंकि वे चर हैं, इसलिए आपको कुछ ऐसे व्यंजक मिलेंगे जो उन पर निर्भर करते हैं। यह व्यंजक तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले एक समतल का समीकरण होगा जो एक सीधी रेखा पर नहीं होता है!

आइए इसे एक साधारण उदाहरण के साथ स्पष्ट करें:

1. बिंदुओं से गुजरने वाले तल के समीकरण की रचना कीजिए

हम इन तीन बिंदुओं के लिए एक सारणिक बनाते हैं:

सरलीकरण:

अब हम इसकी गणना सीधे त्रिभुजों के नियम के अनुसार करते हैं:

\[(\बाएं| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ दाएं| = \बाएं((x + 3) \दाएं) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

इस प्रकार, बिंदुओं से गुजरने वाले तल का समीकरण है:

अब एक समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें, और फिर हम इस पर चर्चा करेंगे:

2. बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए

खैर, अब समाधान पर चर्चा करते हैं:

हम एक निर्धारक बनाते हैं:

और इसके मूल्य की गणना करें:

तब समतल के समीकरण का रूप है:

या, कम करके, हम प्राप्त करते हैं:

अब आत्म-नियंत्रण के लिए दो कार्य:

1. तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण बनाइए:

उत्तर:

क्या सब कुछ मेल खाता था? फिर, यदि कुछ कठिनाइयाँ हैं, तो मेरी सलाह यह है: आप अपने सिर से तीन बिंदु लें (उच्च संभावना के साथ वे एक सीधी रेखा पर नहीं होंगे), उन पर एक विमान का निर्माण करें। और फिर खुद को ऑनलाइन चेक करें। उदाहरण के लिए, साइट पर:

तथापि, सारणिकों की सहायता से हम न केवल तल के समीकरण का निर्माण करेंगे। याद रखें, मैंने आपको बताया था कि वैक्टर के लिए, न केवल डॉट उत्पाद परिभाषित किया गया है। एक वेक्टर भी है, साथ ही एक मिश्रित उत्पाद भी है। और यदि दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या होगी, तो दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश होगा, और यह सदिश दिए गए सदिशों के लंबवत होगा:

इसके अलावा, इसका मापांक वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होगा और। एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना करने के लिए हमें इस वेक्टर की आवश्यकता होगी। हम वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की गणना कैसे कर सकते हैं और यदि उनके निर्देशांक दिए गए हैं? तीसरे क्रम का निर्धारक फिर से हमारी सहायता के लिए आता है। हालांकि, इससे पहले कि मैं क्रॉस उत्पाद की गणना के लिए एल्गोरिदम पर आगे बढ़ूं, मुझे एक छोटा गीतात्मक विषयांतर करना होगा।

यह विषयांतर आधार वैक्टर से संबंधित है।

योजनाबद्ध रूप से उन्हें चित्र में दिखाया गया है:

आपको क्या लगता है कि उन्हें बुनियादी क्यों कहा जाता है? तथ्य यह है कि :

या तस्वीर में:

इस सूत्र की वैधता स्पष्ट है, क्योंकि:

वेक्टर उत्पाद

अब मैं क्रॉस उत्पाद पेश करना शुरू कर सकता हूं:

दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश है जिसकी गणना निम्नलिखित नियम के अनुसार की जाती है:

अब क्रॉस उत्पाद की गणना के कुछ उदाहरण देते हैं:

उदाहरण 1: वैक्टर का क्रॉस उत्पाद खोजें:

समाधान: मैं एक निर्धारक बनाता हूं:

और मैं इसकी गणना करता हूं:

अब, आधार वैक्टर के माध्यम से लिखने से, मैं सामान्य वेक्टर संकेतन पर लौटूंगा:

इस तरह:

अब कोशिश करो।

तैयार? हम जाँच:

और परंपरागत रूप से दो नियंत्रित करने के लिए कार्य:

1. निम्नलिखित वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद खोजें:
2. निम्नलिखित वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद खोजें:

उत्तर:

तीन वैक्टर का मिश्रित उत्पाद

आखिरी निर्माण जो मुझे चाहिए वह तीन वैक्टरों का मिश्रित उत्पाद है। यह, एक अदिश की तरह, एक संख्या है। इसकी गणना करने के दो तरीके हैं। - सारणिक के माध्यम से, - मिश्रित उत्पाद के माध्यम से।

अर्थात्, मान लें कि हमारे पास तीन वैक्टर हैं:

फिर तीन वैक्टरों के मिश्रित उत्पाद की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

1. - अर्थात मिश्रित उत्पाद एक सदिश का अदिश गुणनफल और दो अन्य सदिशों का सदिश गुणनफल होता है

उदाहरण के लिए, तीन वैक्टर का मिश्रित उत्पाद है:

वेक्टर उत्पाद का उपयोग करके स्वयं इसकी गणना करने का प्रयास करें और सुनिश्चित करें कि परिणाम मेल खाते हैं!

और फिर - एक स्वतंत्र समाधान के लिए दो उदाहरण:

उत्तर:

समन्वय प्रणाली का विकल्प

खैर, अब हमारे पास ज्यामिति में जटिल स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं को हल करने के लिए ज्ञान की सभी आवश्यक नींव हैं। हालांकि, सीधे उदाहरणों और एल्गोरिदम को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, मेरा मानना ​​​​है कि निम्नलिखित प्रश्न पर ध्यान देना उपयोगी होगा: वास्तव में कैसे किसी विशेष आकृति के लिए एक समन्वय प्रणाली चुनें।आखिरकार, यह समन्वय प्रणाली की सापेक्ष स्थिति और अंतरिक्ष में आकृति का चुनाव है जो अंततः यह निर्धारित करेगा कि गणना कितनी बोझिल होगी।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि इस खंड में हम निम्नलिखित आंकड़ों पर विचार कर रहे हैं:

1. घनाभ
2. सीधा प्रिज्म (त्रिकोणीय, षट्कोणीय…)
3. पिरामिड (त्रिकोणीय, चतुर्भुज)
4. टेट्राहेड्रोन (त्रिकोणीय पिरामिड के समान)

एक घनाभ या घन के लिए, मैं निम्नलिखित निर्माण की अनुशंसा करता हूं:

यही है, मैं "कोने में" आंकड़ा रखूंगा। क्यूब और बॉक्स बहुत अच्छे आंकड़े हैं। उनके लिए, आप हमेशा इसके शीर्षों के निर्देशांक आसानी से प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि (जैसा चित्र में दिखाया गया है)

तो शीर्ष निर्देशांक हैं:

बेशक, आपको इसे याद रखने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह याद रखना कि घन या आयताकार बॉक्स को किस प्रकार सर्वोत्तम स्थिति में रखा जाए, वांछनीय है।

सीधा प्रिज्म

प्रिज्म एक अधिक हानिकारक आंकड़ा है। आप इसे अलग-अलग तरीकों से अंतरिक्ष में व्यवस्थित कर सकते हैं। हालांकि, मुझे लगता है कि निम्नलिखित सबसे अच्छा विकल्प है:

त्रिकोणीय प्रिज़्म:

यही है, हम त्रिभुज की एक भुजा को पूरी तरह से अक्ष पर रखते हैं, और एक शीर्ष मूल के साथ मेल खाता है।

हेक्सागोनल प्रिज्म:

यही है, एक कोने मूल के साथ मेल खाता है, और पक्षों में से एक अक्ष पर स्थित है।

चतुर्भुज और हेक्सागोनल पिरामिड:

एक घन के समान स्थिति: हम आधार के दो पक्षों को समन्वय अक्षों के साथ जोड़ते हैं, हम एक कोने को मूल के साथ जोड़ते हैं। बिंदु के निर्देशांक की गणना करने के लिए केवल एक छोटी सी कठिनाई होगी।

हेक्सागोनल पिरामिड के लिए - हेक्सागोनल प्रिज्म के समान। मुख्य कार्य फिर से शीर्ष के निर्देशांक खोजने में होगा।

टेट्राहेड्रोन (त्रिकोणीय पिरामिड)

स्थिति बहुत कुछ वैसी ही है जैसी मैंने त्रिकोणीय प्रिज्म के लिए दी थी: एक शीर्ष मूल के साथ मेल खाता है, एक पक्ष समन्वय अक्ष पर स्थित है।

खैर, अब आप और मैं अंतत: समस्याओं का समाधान शुरू करने के करीब हैं। लेख की शुरुआत में मैंने जो कहा था, उससे आप निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: अधिकांश सी 2 समस्याएं 2 श्रेणियों में आती हैं: कोण के लिए समस्याएं और दूरी के लिए समस्याएं। पहले हम कोण ज्ञात करने की समस्याओं पर विचार करेंगे। बदले में, उन्हें निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जाता है (जैसे-जैसे जटिलता बढ़ती है):

कोनों को खोजने में समस्या

1. दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना
2. दो तलों के बीच का कोण ज्ञात करना

आइए इन समस्याओं पर क्रमिक रूप से विचार करें: आइए दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करके प्रारंभ करें। आइए, याद रखें, क्या आपने और मैंने पहले भी इसी तरह के उदाहरणों को हल किया है? आपको याद है, क्योंकि हमारे पास पहले से ही कुछ ऐसा ही था ... हम दो वैक्टर के बीच के कोण की तलाश कर रहे थे। मैं आपको याद दिलाता हूं, यदि दो सदिश दिए गए हैं: और, तो उनके बीच का कोण संबंध से ज्ञात होता है:

अब हमारा एक लक्ष्य है - दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना। आइए "सपाट चित्र" की ओर मुड़ें:

दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करने पर हमें कितने कोण प्राप्त होते हैं? पहले से ही चीजें। सच है, उनमें से केवल दो समान नहीं हैं, जबकि अन्य उनके लिए लंबवत हैं (और इसलिए उनके साथ मेल खाते हैं)। तो हमें दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण पर क्या विचार करना चाहिए: या? यहाँ नियम है: दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण हमेशा डिग्री से अधिक नहीं होता है. यानी हम हमेशा दो कोणों से सबसे छोटे डिग्री माप वाले कोण का चयन करेंगे। यानी इस चित्र में दोनों रेखाओं के बीच का कोण बराबर है। हर बार दो कोणों में से सबसे छोटा कोण खोजने की जहमत न उठाने के लिए, चालाक गणितज्ञों ने मॉड्यूल का उपयोग करने का सुझाव दिया। इस प्रकार, दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एक चौकस पाठक के रूप में, आपको एक प्रश्न होना चाहिए था: वास्तव में, क्या हमें ये वही संख्याएँ मिलती हैं जिनकी हमें कोण की कोसाइन की गणना करने की आवश्यकता होती है? उत्तर: हम इन्हें रेखाओं के दिक्-सदिशों से लेंगे! इस प्रकार, दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. हम फॉर्मूला 1 लागू करते हैं।

या अधिक विस्तार से:

1. हम पहली सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं
2. हम दूसरी पंक्ति के दिशा वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं
3. उनके अदिश उत्पाद के मापांक की गणना करें
4. हम पहले वेक्टर की लंबाई की तलाश कर रहे हैं
5. हम दूसरे वेक्टर की लंबाई की तलाश कर रहे हैं
6. बिंदु 4 के परिणामों को बिंदु 5 . के परिणामों से गुणा करें
7. हम बिंदु 3 के परिणाम को बिंदु 6 के परिणाम से विभाजित करते हैं। हमें रेखाओं के बीच के कोण का कोज्या प्राप्त होता है
8. यदि यह परिणाम हमें कोण की सटीक गणना करने की अनुमति देता है, तो हम इसे ढूंढते हैं
9. अन्यथा, हम आर्ककोसाइन के माध्यम से लिखते हैं

खैर, अब कार्यों पर आगे बढ़ने का समय है: मैं पहले दो के समाधान को विस्तार से प्रदर्शित करूंगा, मैं दूसरे के समाधान को संक्षेप में प्रस्तुत करूंगा, और मैं केवल अंतिम दो कार्यों के उत्तर दूंगा, आपको अवश्य करना चाहिए उनके लिए सभी गणना स्वयं करें।

कार्य:

1. दाएँ tet-ra-ed-re में, आप-तो-दैट tet-ra-ed-ra और me-di-a-noy bo-ko-how पक्ष के बीच का कोण ज्ञात करें।

2. राइट-फॉरवर्ड सिक्स-कोयला-पी-रा-मी-डी में, सौ-रो-ना-ओस-नो-वा-निया किसी तरह बराबर हैं, और साइड पसलियां बराबर हैं, सीधे के बीच का कोण खोजें लाइनें और।

3. दाहिने हाथ के चार-आप-रेच-कोयला-नोय पी-रा-मी-डाई के सभी किनारों की लंबाई एक दूसरे के बराबर है। सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए और यदि फ्रॉम-रे-ज़ोक - यू-सो-दैट दिया गया पी-रा-मी-डाई, तो बिंदु उसकी बो-को-थ रिब पर से-रे-दी-है।

4. घन के किनारे पर से-मी-चे-एक बिंदु तक ताकि सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें और

5. बिंदु - से-रे-दी-घन के किनारों पर नई-दी-ते सीधी रेखाओं के बीच का कोण और।

यह कोई संयोग नहीं है कि मैंने कार्यों को इस क्रम में रखा। जबकि आपके पास अभी तक समन्वय विधि को नेविगेट करने का समय नहीं है, मैं स्वयं सबसे "समस्याग्रस्त" आंकड़ों का विश्लेषण करूंगा, और मैं आपको सबसे सरल घन से निपटने के लिए छोड़ दूंगा! धीरे-धीरे आपको सीखना होगा कि सभी आंकड़ों के साथ कैसे काम करना है, मैं कार्यों की जटिलता को विषय से विषय तक बढ़ाऊंगा।

आइए समस्याओं को हल करना शुरू करें:

1. एक चतुष्फलक खींचिए, इसे निर्देशांक तंत्र में रखिए जैसा कि मैंने पहले सुझाया था। चूँकि चतुष्फलक नियमित है, तो इसके सभी फलक (आधार सहित) सम त्रिभुज हैं। चूँकि हमें भुजा की लंबाई नहीं दी गई है, मैं इसे बराबर ले सकता हूँ। मुझे लगता है कि आप समझते हैं कि कोण वास्तव में इस बात पर निर्भर नहीं करेगा कि हमारा टेट्राहेड्रोन कितना "फैला हुआ" होगा? मैं चतुष्फलक में ऊँचाई और माध्यिका भी बनाऊँगा। रास्ते में, मैं इसका आधार बनाऊंगा (यह हमारे काम भी आएगा)।

मुझे और के बीच के कोण को खोजने की जरूरत है। हम क्या जानते हैं? हम केवल बिंदु के निर्देशांक को जानते हैं। इसलिए, हमें बिंदुओं के अधिक निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है। अब हम सोचते हैं: एक बिंदु एक त्रिभुज की ऊंचाइयों (या द्विभाजक या माध्यिका) का प्रतिच्छेदन बिंदु है। एक बिंदु एक ऊंचा बिंदु है। बिंदु खंड का मध्यबिंदु है। फिर अंत में हमें खोजने की जरूरत है: बिंदुओं के निर्देशांक:।

आइए सबसे सरल से शुरू करें: बिंदु निर्देशांक। आकृति को देखें: यह स्पष्ट है कि एक बिंदु का अनुप्रयोग शून्य के बराबर है (बिंदु एक समतल पर स्थित है)। इसकी कोटि बराबर है (क्योंकि यह माध्यिका है)। इसका भुज खोजना अधिक कठिन है। हालाँकि, यह पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर आसानी से किया जाता है: एक त्रिभुज पर विचार करें। इसका कर्ण बराबर है, और एक पैर बराबर है तो:

अंत में हमारे पास है:

आइए अब बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। यह स्पष्ट है कि इसका अनुप्रयोग फिर से शून्य के बराबर है, और इसकी कोटि एक बिंदु के समान है, अर्थात। आइए इसका भुज ज्ञात करें। यह बहुत मामूली रूप से किया जाता है अगर किसी को यह याद है एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाइयों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा अनुपात में विभाजित किया जाता हैऊपर से गिनती। चूँकि:, तब बिंदु का वांछित भुज, खंड की लंबाई के बराबर, बराबर होता है:। इस प्रकार, बिंदु के निर्देशांक हैं:

आइए बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। यह स्पष्ट है कि इसका भुज और कोटि बिंदु के भुज और कोटि से मेल खाते हैं। और पिपली खंड की लंबाई के बराबर है। - यह त्रिभुज के पैरों में से एक है। एक त्रिभुज का कर्ण एक खंड है - एक पैर। यह उन कारणों के लिए खोजा गया है जिन्हें मैंने बोल्ड में हाइलाइट किया है:

बिंदु खंड का मध्यबिंदु है। फिर हमें खंड के मध्य के निर्देशांक के सूत्र को याद रखना होगा:

यही है, अब हम दिशा वैक्टर के निर्देशांक देख सकते हैं:

खैर, सब कुछ तैयार है: हम सभी डेटा को सूत्र में बदलते हैं:

इस तरह,

उत्तर:

आपको ऐसे "भयानक" उत्तरों से डरना नहीं चाहिए: समस्याओं के लिए C2 यह एक सामान्य प्रथा है। मुझे इस भाग में "सुंदर" उत्तर से आश्चर्य होगा। साथ ही, जैसा कि आपने नोट किया, मैंने व्यावहारिक रूप से पाइथागोरस प्रमेय और एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाइयों की संपत्ति के अलावा किसी और चीज का सहारा नहीं लिया। यानी, स्टीरियोमेट्रिक समस्या को हल करने के लिए, मैंने बहुत कम से कम स्टीरियोमेट्री का इस्तेमाल किया। इसमें लाभ आंशिक रूप से बोझिल गणनाओं द्वारा "बुझा हुआ" है। लेकिन वे काफी एल्गोरिथम हैं!

2. निर्देशांक प्रणाली के साथ-साथ इसके आधार के साथ एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड बनाएं:

हमें रेखाओं और के बीच का कोण ज्ञात करना है। इस प्रकार, हमारा कार्य बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए कम हो गया है: . हम छोटे आरेखण से अंतिम तीन के निर्देशांक पाएंगे, और हम बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से शीर्ष के निर्देशांक पाएंगे। काम बहुत है, लेकिन शुरुआत करनी होगी!

a) निर्देशांक: यह स्पष्ट है कि इसका अनुप्रयुक्त और कोटि शून्य है। आइए एब्सिस्सा का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें। काश, इसमें हम केवल कर्ण को ही जानते हैं, जो बराबर होता है। हम पैर को खोजने की कोशिश करेंगे (क्योंकि यह स्पष्ट है कि पैर की लंबाई से दोगुना हमें बिंदु का भुज देगा)। हम इसे कैसे ढूंढ सकते हैं? आइए याद करें कि पिरामिड के आधार पर हमारे पास किस प्रकार की आकृति है? यह एक नियमित षट्भुज है। इसका क्या मतलब है? इसका अर्थ है कि सभी भुजाएँ और सभी कोण समान हैं। हमें ऐसा ही एक कोना खोजने की जरूरत है। कोई विचार? बहुत सारे विचार हैं, लेकिन एक सूत्र है:

एक नियमित n-gon के कोणों का योग होता है .

इस प्रकार, एक नियमित षट्भुज के कोणों का योग डिग्री है। तब प्रत्येक कोण बराबर होता है:

आइए तस्वीर को फिर से देखें। यह स्पष्ट है कि खंड कोण का समद्विभाजक है। फिर कोण डिग्री है। फिर:

फिर कहाँ।

तो इसके निर्देशांक हैं

b) अब हम आसानी से बिंदु का निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं: .

ग) बिंदु के निर्देशांक खोजें। चूँकि इसका भुज खंड की लंबाई के साथ मेल खाता है, यह बराबर है। कोटि ज्ञात करना भी बहुत कठिन नहीं है: यदि हम बिंदुओं को जोड़ते हैं और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करते हैं, तो मान लीजिए। (इसे स्वयं सरल निर्माण करें)। तब इस प्रकार, बिंदु B की कोटि खण्डों की लंबाई के योग के बराबर होती है। आइए फिर से त्रिभुज को देखें। फिर

तब से तब से बिंदु के निर्देशांक हैं

d) अब बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। एक आयत पर विचार करें और सिद्ध करें कि इस प्रकार, बिंदु के निर्देशांक हैं:

ई) यह शीर्ष के निर्देशांक खोजने के लिए बनी हुई है। यह स्पष्ट है कि इसका भुज और कोटि बिंदु के भुज और कोटि से मेल खाते हैं। आइए एक ऐप ढूंढते हैं। तब से। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें। समस्या की स्थिति से, पार्श्व किनारे। यह मेरे त्रिभुज का कर्ण है। तब पिरामिड की ऊंचाई पैर है।

फिर बिंदु के निर्देशांक हैं:

बस इतना ही, मेरे पास रुचि के सभी बिंदुओं के निर्देशांक हैं। मैं सीधी रेखाओं के निर्देशन वैक्टर के निर्देशांक की तलाश में हूं:

हम इन वैक्टरों के बीच के कोण की तलाश कर रहे हैं:

उत्तर:

फिर से, इस समस्या को हल करते समय, मैंने किसी भी परिष्कृत तरकीब का उपयोग नहीं किया, सिवाय एक नियमित n-gon के कोणों के योग के सूत्र के अलावा, साथ ही एक समकोण त्रिभुज की कोसाइन और साइन की परिभाषा के अलावा।

3. चूंकि हमें फिर से पिरामिड में किनारों की लंबाई नहीं दी गई है, मैं उन्हें एक के बराबर मानूंगा। इस प्रकार, चूंकि सभी किनारे, और न केवल पक्ष वाले, एक दूसरे के बराबर हैं, तो पिरामिड और मी के आधार पर एक वर्ग है, और पार्श्व फलक नियमित त्रिकोण हैं। आइए समस्या के पाठ में दिए गए सभी डेटा को चिह्नित करते हुए, इस तरह के एक पिरामिड, साथ ही एक विमान पर इसके आधार को चित्रित करें:

हम और के बीच के कोण की तलाश कर रहे हैं। जब मैं बिंदुओं के निर्देशांक की तलाश कर रहा हूँ तो मैं बहुत संक्षिप्त गणना करूँगा। आपको उन्हें "डिक्रिप्ट" करने की आवश्यकता होगी:

बी) - खंड के मध्य। उसके निर्देशांक:

ग) मैं एक त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात करूंगा। मैं पाइथागोरस प्रमेय द्वारा एक त्रिभुज में खोजूंगा।

निर्देशांक:

d) - खंड के मध्य में। इसके निर्देशांक हैं

ई) वेक्टर निर्देशांक

च) वेक्टर निर्देशांक

छ) एक कोण की तलाश में:

घन सबसे सरल आकृति है। मुझे यकीन है कि आप इसे अपने आप समझ सकते हैं। प्रश्न 4 और 5 के उत्तर इस प्रकार हैं:

एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात करना

खैर, सरल पहेलियों का समय समाप्त हो गया है! अब उदाहरण और भी कठिन होंगे। एक रेखा और एक तल के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम इस प्रकार आगे बढ़ेंगे:

1. तीन बिंदुओं का उपयोग करके, हम समतल का समीकरण बनाते हैं
   ,
   तीसरे क्रम के निर्धारक का उपयोग करना।
2. दो बिंदुओं से हम सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं:
3. हम एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोण की गणना करने के लिए सूत्र लागू करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सूत्र उस सूत्र से बहुत मिलता-जुलता है जिसका उपयोग हम दो रेखाओं के बीच के कोणों को खोजने के लिए करते थे। दाईं ओर की संरचना बिल्कुल वैसी ही है, और बाईं ओर अब हम पहले की तरह एक ज्या की तलाश कर रहे हैं, न कि कोसाइन की। खैर, एक बुरा कार्य जोड़ा गया - विमान के समीकरण की खोज।

चलो ठंडे बस्ते में न डालें उदाहरण हल करना:

1. ओस-नो-वा-नी-एम सीधे-मेरा पुरस्कार-हम हैं-ला-एट-ज़िया बराबर-लेकिन-गरीब-रेन-एन त्रिकोण-निक यू-विद-दैट पुरस्कार-हम बराबर हैं। सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

2. एक आयताकार pa-ral-le-le-pi-pe-de में पश्चिम Nai-di-te से सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण

3. दाहिने हाथ के छह-कोयला प्रिज्म में, सभी किनारे बराबर होते हैं। सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

4. दाहिने त्रिकोणीय pi-ra-mi-de में os-but-va-ni-em के साथ पसली Nai-di-te कोण के पश्चिम से, os का ob-ra-zo-van -ny समतल -नो-वा-निया और स्ट्रेट-माय, पसलियों के से-रे-दी-ना से गुजरते हुए और

5. शीर्ष के साथ दाहिने चतुर्भुज pi-ra-mi-dy के सभी किनारों की लंबाई एक दूसरे के बराबर है। यदि बिंदु pi-ra-mi-dy के bo-ko-in-th किनारे पर se-re-di-on है, तो सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

दोबारा, मैं पहली दो समस्याओं को विस्तार से हल करूंगा, तीसरा - संक्षेप में, और मैं आपके लिए अंतिम दो को आपके लिए हल करने के लिए छोड़ देता हूं। इसके अलावा, आपको पहले से ही त्रिकोणीय और चतुर्भुज पिरामिड से निपटना था, लेकिन अभी तक प्रिज्म से नहीं।

समाधान:

1. एक प्रिज्म और उसका आधार भी बनाइए। आइए इसे समन्वय प्रणाली के साथ जोड़ते हैं और समस्या विवरण में दिए गए सभी डेटा को चिह्नित करते हैं:

कुछ अनुपातों का पालन न करने के लिए मैं क्षमा चाहता हूं, लेकिन समस्या को हल करने के लिए यह वास्तव में इतना महत्वपूर्ण नहीं है। विमान मेरे प्रिज्म की सिर्फ "पिछली दीवार" है। यह केवल अनुमान लगाने के लिए पर्याप्त है कि ऐसे विमान के समीकरण का रूप है:

हालाँकि, इसे सीधे भी दिखाया जा सकता है:

हम इस तल पर मनमाना तीन बिंदु चुनते हैं: उदाहरण के लिए, .

आइए विमान का समीकरण बनाएं:

आपके लिए व्यायाम: इस निर्धारक की गणना स्वयं करें। क्या आप सफल हुए? तब समतल के समीकरण का रूप है:

या केवल

इस तरह,

उदाहरण को हल करने के लिए, मुझे सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक खोजने होंगे। चूंकि बिंदु मूल के साथ मेल खाता है, वेक्टर के निर्देशांक बस बिंदु के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले बिंदु के निर्देशांक ढूंढते हैं।

ऐसा करने के लिए, एक त्रिकोण पर विचार करें। आइए ऊपर से एक ऊँचाई (यह एक माध्यिका और एक समद्विभाजक भी है) खींचते हैं। चूँकि, तब बिंदु की कोटि बराबर होती है। इस बिंदु का भुज ज्ञात करने के लिए, हमें खंड की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। पाइथागोरस प्रमेय से हमारे पास है:

फिर बिंदु के निर्देशांक हैं:

एक बिंदु एक बिंदु पर "उठाया" है:

फिर वेक्टर के निर्देशांक:

उत्तर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसी समस्याओं को हल करने में मौलिक रूप से कुछ भी मुश्किल नहीं है। वास्तव में, प्रिज्म जैसी आकृति का "सीधापन" प्रक्रिया को थोड़ा और सरल करता है। अब अगले उदाहरण पर चलते हैं:

2. हम एक समानांतर चतुर्भुज खींचते हैं, उसमें एक विमान और एक सीधी रेखा खींचते हैं, और अलग से उसका निचला आधार भी खींचते हैं:

सबसे पहले, हम विमान का समीकरण पाते हैं: इसमें स्थित तीन बिंदुओं के निर्देशांक:

(पहले दो निर्देशांक एक स्पष्ट तरीके से प्राप्त किए जाते हैं, और आप बिंदु से चित्र से अंतिम निर्देशांक आसानी से पा सकते हैं)। फिर हम विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

हम गणना करते हैं:

हम दिशा वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं: यह स्पष्ट है कि इसके निर्देशांक बिंदु के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं, है ना? निर्देशांक कैसे खोजें? ये बिंदु के निर्देशांक हैं, जो अनुप्रयुक्त अक्ष के साथ एक-एक करके उठाए गए हैं! . फिर हम वांछित कोण की तलाश कर रहे हैं:

उत्तर:

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड बनाएं, और फिर उसमें एक समतल और एक सीधी रेखा खींचे।

यहां एक विमान खींचना भी समस्याग्रस्त है, इस समस्या के समाधान का उल्लेख नहीं करना, लेकिन समन्वय विधि परवाह नहीं है! इसकी बहुमुखी प्रतिभा में इसका मुख्य लाभ निहित है!

विमान तीन बिंदुओं से होकर गुजरता है: . हम उनके निर्देशांक ढूंढ रहे हैं:

एक) । अंतिम दो बिंदुओं के निर्देशांक स्वयं प्रदर्शित करें। इसके लिए आपको हेक्सागोनल पिरामिड के साथ समस्या को हल करना होगा!

2) हम समतल का समीकरण बनाते हैं:

हम वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं:। (त्रिकोणीय पिरामिड समस्या फिर से देखें!)

3) हम एक कोण की तलाश कर रहे हैं:

उत्तर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, इन कार्यों में अलौकिक रूप से कठिन कुछ भी नहीं है। आपको बस जड़ों से बहुत सावधान रहने की जरूरत है। अंतिम दो समस्याओं के लिए, मैं केवल उत्तर दूंगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समस्याओं को हल करने की तकनीक हर जगह समान है: मुख्य कार्य कोने के निर्देशांक ढूंढना और उन्हें कुछ सूत्रों में बदलना है। कोणों की गणना के लिए समस्याओं के एक और वर्ग पर विचार करना हमारे लिए बाकी है, अर्थात्:

दो तलों के बीच कोणों की गणना

समाधान एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

1. तीन बिंदुओं के लिए हम पहले विमान के समीकरण की तलाश कर रहे हैं:
2. अन्य तीन बिंदुओं के लिए, हम दूसरे तल के समीकरण की तलाश कर रहे हैं:
3. हम सूत्र लागू करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सूत्र पिछले दो से काफी मिलता-जुलता है, जिसकी मदद से हम सीधी रेखाओं के बीच और एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोणों की तलाश कर रहे थे। तो इसे याद रखना आपके लिए मुश्किल नहीं होगा। आइए सीधे समस्या में कूदें:

1. एक सौ-आरओ-ओन के आधार पर सही त्रिकोणीय प्रिज्म बराबर है, और साइड फेस का डाय-गो-नल बराबर है। पुरस्कार के आधार के तल और तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

2. राइट-फॉरवर्ड फोर-यू-री-कोल-नोय पी-रा-मी-डी में, किसी के सभी किनारे बराबर हैं, विमान और विमान को-स्टू के बीच के कोण की साइन का पता लगाएं, जो कि गुजर रहा है प्रति-पेन-दी-कु-लाइर-लेकिन सीधे-माई की बात।

3. एक नियमित चार-कोयला प्रिज्म में, os-no-va-nia की भुजाएँ समान होती हैं, और भुजाएँ समान होती हैं। मैं-चे-से-किनारे के किनारे पर ताकि। विमानों और के बीच के कोण का पता लगाएं

4. सम चतुर्भुज प्रिज्म में, आधारों की भुजाएँ समान होती हैं, और भुजाएँ समान होती हैं। किनारे से-मी-चे-एक बिंदु तक ताकि विमानों के बीच के कोण का पता लगाएं और।

5. घन में, तलों और के बीच के कोण का सह-si-nus ज्ञात कीजिए

समस्या समाधान:

1. मैं एक नियमित (आधार पर - एक समबाहु त्रिभुज) त्रिकोणीय प्रिज्म बनाता हूं और उस पर समस्या की स्थिति में दिखाई देने वाले विमानों को चिह्नित करता हूं:

हमें दो विमानों के समीकरणों को खोजने की जरूरत है: आधार समीकरण तुच्छ रूप से प्राप्त किया जाता है: आप तीन बिंदुओं के लिए संबंधित निर्धारक बना सकते हैं, लेकिन मैं तुरंत समीकरण बना दूंगा:

अब आइए समीकरण पाते हैं बिंदु के निर्देशांक हैं बिंदु - चूँकि - माध्यिका और त्रिभुज की ऊँचाई, एक त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा इसे खोजना आसान है। तब बिंदु के निर्देशांक होते हैं: बिंदु का अनुप्रयोग खोजें ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें

तब हमें निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त होते हैं: हम समतल के समीकरण की रचना करते हैं।

हम विमानों के बीच के कोण की गणना करते हैं:

उत्तर:

2. एक चित्र बनाना:

सबसे कठिन बात यह समझना है कि यह किस तरह का रहस्यमय विमान है, जो एक बिंदु से लंबवत होकर गुजरता है। खैर, मुख्य बात यह है कि यह क्या है? मुख्य बात सावधानी है! दरअसल, रेखा लंबवत है। रेखा भी लंबवत है। तब इन दो रेखाओं से गुजरने वाला तल रेखा के लंबवत होगा, और, वैसे, बिंदु से होकर गुजरेगा। यह समतल पिरामिड के शीर्ष से भी गुजरता है। फिर वांछित विमान - और विमान हमें पहले ही दिया जा चुका है। हम बिंदुओं के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं।

हम बिंदु के माध्यम से बिंदु का निर्देशांक पाते हैं। एक छोटे से चित्र से यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार होंगे: पिरामिड के शीर्ष के निर्देशांक खोजने के लिए अब क्या खोजना बाकी है? अभी भी इसकी ऊंचाई की गणना करने की जरूरत है। यह उसी पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके किया जाता है: सबसे पहले, साबित करें कि (आधार पर एक वर्ग बनाने वाले छोटे त्रिकोणों से)। चूंकि शर्त के अनुसार, हमारे पास है:

अब सब कुछ तैयार है: शीर्ष निर्देशांक:

हम विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

आप पहले से ही निर्धारकों की गणना के विशेषज्ञ हैं। आप आसानी से प्राप्त करेंगे:

या अन्यथा (यदि हम दोनों भागों को दो के मूल से गुणा करते हैं)

आइए अब समतल का समीकरण ज्ञात करें:

(आप यह नहीं भूले कि हम विमान का समीकरण कैसे प्राप्त करते हैं, ठीक है? यदि आप यह नहीं समझते हैं कि यह ऋण कहाँ से आया है, तो विमान के समीकरण की परिभाषा पर वापस जाएँ! यह हमेशा उससे पहले निकला कि मेरा विमान मूल का था!)

हम निर्धारक की गणना करते हैं:

(आप देख सकते हैं कि समतल का समीकरण बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण के साथ मेल खाता है और सोचिए क्यों!)

अब हम कोण की गणना करते हैं:

हमें साइन खोजने की जरूरत है:

उत्तर:

3. एक पेचीदा सवाल: आयताकार प्रिज्म क्या है, आप क्या सोचते हैं? यह आपके लिए सिर्फ एक प्रसिद्ध समानांतर चतुर्भुज है! तुरंत ड्राइंग! आप आधार को अलग से चित्रित भी नहीं कर सकते, यहाँ इसका बहुत कम उपयोग है:

जैसा कि हमने पहले देखा, विमान एक समीकरण के रूप में लिखा गया है:

अब हम एक विमान बनाते हैं

हम तुरंत विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

एक कोण की तलाश में

अब अंतिम दो समस्याओं के उत्तर:

खैर, अब ब्रेक लेने का समय है, क्योंकि आप और मैं महान हैं और आपने बहुत अच्छा काम किया है!

निर्देशांक और वैक्टर। उन्नत स्तर, उच्च स्तर

इस लेख में, हम आपके साथ समस्याओं के एक अन्य वर्ग के बारे में चर्चा करेंगे जिन्हें समन्वय विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है: दूरी की समस्याएं। अर्थात्, हम निम्नलिखित मामलों पर विचार करेंगे:

1. तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी की गणना।

मैंने दिए गए कार्यों को उनकी जटिलता बढ़ने पर आदेश दिया है। खोजना सबसे आसान है विमान दूरी के लिए बिंदुऔर सबसे कठिन हिस्सा ढूंढ रहा है प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी. हालांकि, निश्चित रूप से, कुछ भी असंभव नहीं है! आइए विलंब न करें और समस्याओं के प्रथम वर्ग पर विचार करने के लिए तुरंत आगे बढ़ें:

एक बिंदु से एक विमान की दूरी की गणना

इस समस्या को हल करने के लिए हमें क्या चाहिए?

1. बिंदु निर्देशांक

इसलिए, जैसे ही हमें सभी आवश्यक डेटा मिलते हैं, हम सूत्र लागू करते हैं:

आपको पहले से ही पता होना चाहिए कि हम पिछली समस्याओं से विमान के समीकरण का निर्माण कैसे करते हैं जिसका मैंने पिछले भाग में विश्लेषण किया था। चलो तुरंत व्यापार के लिए नीचे उतरें। योजना इस प्रकार है: 1, 2 - मैं आपको निर्णय लेने में मदद करता हूं, और कुछ विस्तार से, 3, 4 - केवल उत्तर, आप स्वयं निर्णय लें और तुलना करें। शुरू कर दिया है!

कार्य:

1. एक घन दिया है। घन के किनारे की लंबाई है कट से फ्लैट तक se-re-di-ny से ढूँढें-दी-ते दूरी

2. राइट-विल-नया फोर-यू-रेख-कोयला-नया पि-रा-मी-दा बो-को-वो एज सौ-रो-ओन ओएस-नो-वा-निया के बराबर है। ढूँढें-दी-वे एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी जहाँ - से-रे-दी-किनारों पर।

3. दाहिने त्रिकोणीय pi-ra-mi-de में os-but-va-ni-em के साथ, दूसरा किनारा बराबर है, और एक सौ-ro-on os-no-va-niya बराबर है। ढूँढें-दी-वे ऊपर से विमान तक की दूरी।

4. दाहिने हाथ के छह-कोयला प्रिज्म में, सभी किनारे बराबर होते हैं। ढूँढें-दी-वे एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी।

समाधान:

1. एकल किनारों वाला एक घन बनाएं, एक खंड और एक तल बनाएं, खंड के मध्य को अक्षर द्वारा निरूपित करें

.

सबसे पहले, आइए एक आसान से शुरू करें: एक बिंदु के निर्देशांक खोजें। तब से (खंड के मध्य के निर्देशांक याद रखें!)

अब हम तीन बिंदुओं पर समतल का समीकरण बनाते हैं

\[\बाएं| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

अब मैं दूरी खोजना शुरू कर सकता हूं:

2. हम फिर से एक ड्राइंग के साथ शुरू करते हैं, जिस पर हम सभी डेटा को चिह्नित करते हैं!

एक पिरामिड के लिए उसका आधार अलग से खींचना उपयोगी होगा।

यहां तक ​​​​कि तथ्य यह है कि मैं एक चिकन पंजा की तरह आकर्षित करता हूं, हमें इस समस्या को आसानी से हल करने से नहीं रोकेगा!

अब एक बिंदु के निर्देशांक खोजना आसान है

बिंदु के निर्देशांक के बाद से

2. चूँकि बिंदु a के निर्देशांक खंड के मध्य हैं, तो

हम समतल पर दो और बिंदुओं के निर्देशांक आसानी से प्राप्त कर सकते हैं। हम समतल के समीकरण की रचना करते हैं और इसे सरल करते हैं:

\[\बाएं| (\ बाएँ | (\ start (सरणी) (*(20) (c)) x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

चूंकि बिंदु के निर्देशांक हैं: , तो हम दूरी की गणना करते हैं:

उत्तर (बहुत दुर्लभ!):

अच्छा, समझे? मुझे ऐसा लगता है कि यहां सब कुछ उतना ही तकनीकी है जितना कि उदाहरणों में हमने पिछले भाग में आपके साथ विचार किया था। तो मुझे यकीन है कि अगर आपने उस सामग्री में महारत हासिल कर ली है, तो आपके लिए बाकी दो समस्याओं को हल करना मुश्किल नहीं होगा। मैं आपको केवल उत्तर दूंगा:

एक रेखा से एक समतल की दूरी की गणना करना

दरअसल, यहां कुछ भी नया नहीं है। एक रेखा और एक तल एक दूसरे के सापेक्ष कैसे स्थित हो सकते हैं? उनके पास सभी संभावनाएं हैं: प्रतिच्छेद करना, या एक सीधी रेखा समतल के समानांतर है। आपके विचार में उस रेखा से उस तल की दूरी क्या है जिससे दी गई रेखा प्रतिच्छेद करती है? मुझे ऐसा लगता है कि यह स्पष्ट है कि इतनी दूरी शून्य के बराबर है। दिलचस्प मामला।

दूसरा मामला पेचीदा है: यहाँ दूरी पहले से ही शून्य है। हालाँकि, चूंकि रेखा समतल के समानांतर है, इसलिए रेखा का प्रत्येक बिंदु इस तल से समान दूरी पर है:

इस तरह:

और इसका मतलब है कि मेरा कार्य पिछले एक में कम हो गया है: हम रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं, हम विमान के समीकरण की तलाश कर रहे हैं, हम बिंदु से विमान की दूरी की गणना करते हैं। वास्तव में, परीक्षा में ऐसे कार्य अत्यंत दुर्लभ हैं। मैं केवल एक समस्या खोजने में कामयाब रहा, और इसमें डेटा ऐसा था कि समन्वय विधि उस पर बहुत लागू नहीं थी!

अब आइए समस्याओं के एक और अधिक महत्वपूर्ण वर्ग की ओर बढ़ते हैं:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी की गणना करना

हमें क्या चाहिए होगा?

1. उस बिंदु के निर्देशांक जहां से हम दूरी की तलाश कर रहे हैं:

2. एक सीधी रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक

3. सीधी रेखा के दिशा सदिश निर्देशांक

हम किस सूत्र का उपयोग करते हैं?

इस भिन्न का हर आपके लिए क्या मायने रखता है और इसलिए यह स्पष्ट होना चाहिए: यह सीधी रेखा के निर्देशन सदिश की लंबाई है। यहाँ एक बहुत ही पेचीदा अंश है! अभिव्यक्ति का अर्थ है वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल (लंबाई) और वेक्टर उत्पाद की गणना कैसे करें, हमने काम के पिछले भाग में अध्ययन किया था। अपने ज्ञान को ताज़ा करें, यह अब हमारे लिए बहुत उपयोगी होगा!

इस प्रकार, समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

1. हम उस बिंदु के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं जहां से हम दूरी की तलाश कर रहे हैं:

2. हम उस रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं जिससे हम दूरी की तलाश कर रहे हैं:

3. एक वेक्टर का निर्माण

4. हम सीधी रेखा के दिशा सदिश का निर्माण करते हैं

5. क्रॉस उत्पाद की गणना करें

6. हम परिणामी वेक्टर की लंबाई की तलाश कर रहे हैं:

7. दूरी की गणना करें:

हमारे पास बहुत काम है, और उदाहरण काफी जटिल होंगे! तो अब अपना सारा ध्यान केंद्रित करें!

1. दाना एक दाहिने हाथ का त्रिकोणीय pi-ra-mi-da एक शीर्ष के साथ है। ऑस-नो-वा-निया पि-रा-मी-डाई पर एक सौ-रो-ओ बराबर है, आप-तो-ता बराबर है। बो-को-वें किनारे के से-रे-दी-नी से सीधी रेखा तक की उन दूरियों का पता लगाएं, जहां बिंदु और पसलियों के से-रे-दी-नी और सह-पशु चिकित्सक हैं -स्टीवन-लेकिन।

2. पसलियों की लंबाई और समकोण-नो-पैरा-राल-ले-पी-पे-दा क्रमशः बराबर हैं, और टॉप-शि-एन से स्ट्रेट-माय तक की दूरी खोजें

3. दाहिने छह-कोयला प्रिज्म में, झुंड के सभी किनारे समान होते हैं find-di-एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी

समाधान:

1. हम एक साफ-सुथरी ड्राइंग बनाते हैं, जिस पर हम सभी डेटा को चिह्नित करते हैं:

हमारे पास आपके लिए बहुत काम है! मैं सबसे पहले शब्दों में वर्णन करना चाहूंगा कि हम क्या देखेंगे और किस क्रम में:

1. बिंदुओं के निर्देशांक और

2. बिंदु निर्देशांक

3. बिंदुओं के निर्देशांक और

4. सदिशों के निर्देशांक और

5. उनका क्रॉस उत्पाद

6. वेक्टर लंबाई

7. वेक्टर उत्पाद की लंबाई

8. से दूरी

खैर, हमें बहुत काम करना है! आइए अपनी आस्तीन ऊपर करें!

1. पिरामिड की ऊंचाई के निर्देशांक खोजने के लिए, हमें बिंदु के निर्देशांक जानने की जरूरत है। इसका अनुप्रयोग शून्य है, और कोटि इसके भुज के बराबर है। अंत में, हमें निर्देशांक मिले:

बिंदु निर्देशांक

2. - खंड के मध्य

3. - खंड के मध्य

मध्य

4. निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

5. वेक्टर उत्पाद की गणना करें:

6. वेक्टर की लंबाई: सबसे आसान तरीका यह है कि यह खंड त्रिभुज की मध्य रेखा है, जिसका अर्थ है कि यह आधा आधार के बराबर है। ताकि।

7. हम वेक्टर उत्पाद की लंबाई पर विचार करते हैं:

8. अंत में, दूरी ज्ञात कीजिए:

ओह, बस इतना ही! ईमानदारी से, मैं आपको बताऊंगा: पारंपरिक तरीकों (निर्माणों के माध्यम से) द्वारा इस समस्या को हल करना बहुत तेज़ होगा। लेकिन यहाँ मैंने सब कुछ एक तैयार एल्गोरिथम में घटा दिया! मुझे लगता है कि समाधान एल्गोरिदम आपके लिए स्पष्ट है? इसलिए, मैं आपसे शेष दो समस्याओं को स्वयं हल करने के लिए कहूंगा। उत्तरों की तुलना करें?

फिर से, मैं दोहराता हूं: समन्वय पद्धति का सहारा लेने के बजाय, निर्माण के माध्यम से इन समस्याओं को हल करना आसान (तेज) है। मैंने केवल आपको एक सार्वभौमिक विधि दिखाने के लिए हल करने के इस तरीके का प्रदर्शन किया जो आपको "कुछ भी पूरा नहीं करने" की अनुमति देता है।

अंत में, समस्याओं के अंतिम वर्ग पर विचार करें:

तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी की गणना

यहां समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म पिछले एक के समान होगा। हमारे पास क्या है:

3. पहली और दूसरी पंक्तियों के बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई सदिश:

हम रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करते हैं?

सूत्र है:

अंश मिश्रित उत्पाद का मॉड्यूल है (हमने इसे पिछले भाग में पेश किया था), और हर - जैसा कि पिछले सूत्र में है (लाइनों के निर्देशन वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल, जिसके बीच की दूरी हम देख रहे हैं के लिये)।

मैं आपको याद दिलाऊंगा कि

फिर दूरी सूत्र के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

इस सारणिक को सारणिक से विभाजित करें! हालांकि, ईमानदार होने के लिए, मैं यहाँ चुटकुलों के मूड में नहीं हूँ! यह सूत्र, वास्तव में, बहुत बोझिल है और जटिल गणनाओं की ओर ले जाता है। अगर मैं तुम होते, तो मैं इसे केवल अंतिम उपाय के रूप में उपयोग करता!

आइए उपरोक्त विधि का उपयोग करके कुछ समस्याओं को हल करने का प्रयास करें:

1. दायीं त्रिभुजाकार प्रिज्म में, सभी किनारे किसी न किसी तरह बराबर हैं, सीधी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए और।

2. एक दाहिने-सामने के आकार के त्रिकोणीय प्रिज्म को देखते हुए, किसी के ओएस-नो-वा-निया के सभी किनारे से-चे-टियन के बराबर होते हैं, दूसरी पसली से गुजरते हुए और से-रे-दी-नु पसली होते हैं यव-ला-एट-स्या स्क्वायर-रा-टॉम। स्ट्रेट-वी-मील और . के बीच फाइंड-दी-ते डिस-स्टो-आई-नी

मैं पहले का फैसला करता हूं, और उसके आधार पर आप दूसरा तय करते हैं!

1. मैं एक प्रिज्म बनाता हूँ और रेखाएँ अंकित करता हूँ और

बिंदु C निर्देशांक: तब

बिंदु निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

बिंदु निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

\[\बाएं((बी,\ओवरराइटएरो (ए(ए_1)) \ओवरराइटएरो (बी(सी_1))) \दाएं) = \बाएं| (\ start(सरणी)(*(20)(l))(\ start(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\ start(array)(*(20) (सी))0&0&1\end(सरणी))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\अंत(सरणी))\अंत(सरणी)) \दाएं| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

हम वैक्टर और के बीच क्रॉस उत्पाद पर विचार करते हैं

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \बाएं| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\ start(array) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\ start(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ फ़्रैक(1)(2))&1\end(सरणी)\end(सरणी) \दाएं| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

अब हम इसकी लंबाई पर विचार करते हैं:

उत्तर:

अब दूसरे कार्य को ध्यान से पूरा करने का प्रयास करें। इसका उत्तर होगा:.

निर्देशांक और वैक्टर। संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र

एक वेक्टर एक निर्देशित खंड है। - वेक्टर की शुरुआत, - वेक्टर का अंत।
वेक्टर को या द्वारा दर्शाया जाता है।

निरपेक्ष मूल्यवेक्टर - वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने वाले खंड की लंबाई। के रूप में नामित।

वेक्टर निर्देशांक:

,
सदिश \displaystyle a के सिरे कहां हैं।

वैक्टर का योग:।

वैक्टर का उत्पाद:

वैक्टर का डॉट उत्पाद:

सदिशों का अदिश गुणन उनके निरपेक्ष मानों के गुणनफल और उनके बीच के कोण की कोज्या के बराबर होता है:

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1. एक वेक्टर क्या है?

2. वैक्टर का जोड़।

3. वैक्टर की समानता।

4. दो सदिशों का अदिश गुणनफल और उसके गुण।

5. वैक्टर पर संचालन के गुण।

6. सबूत और समस्या समाधान।

आधुनिक गणित की मूलभूत अवधारणाओं में से एक है वेक्टर और इसका सामान्यीकरण - टेंसर। एक वेक्टर की अवधारणा का विकास गणित, यांत्रिकी के साथ-साथ प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में इस अवधारणा के व्यापक उपयोग के कारण हुआ।

अतीत के अंत और वर्तमान शताब्दी की शुरुआत को वेक्टर कैलकुलस और इसके अनुप्रयोगों के व्यापक विकास द्वारा चिह्नित किया गया था। वेक्टर बीजगणित और वेक्टर विश्लेषण, वेक्टर अंतरिक्ष का एक सामान्य सिद्धांत बनाया गया था। इन सिद्धांतों का उपयोग विशेष और सामान्य सापेक्षता के निर्माण में किया गया था, जो आधुनिक भौतिकी में एक अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

नए गणित कार्यक्रम की आवश्यकताओं के अनुसार, वेक्टर की अवधारणा स्कूली गणित पाठ्यक्रम में अग्रणी अवधारणाओं में से एक बन गई है।

एक वेक्टर क्या है? अजीब तरह से, इस प्रश्न का उत्तर कुछ कठिनाइयाँ प्रस्तुत करता है। वेक्टर की अवधारणा की परिभाषा के लिए विभिन्न दृष्टिकोण हैं; इसके अलावा, भले ही हम अपने आप को एक वेक्टर की अवधारणा के लिए प्राथमिक-ज्यामितीय दृष्टिकोण तक सीमित रखते हैं, जो हमारे लिए यहां सबसे दिलचस्प है, फिर भी इस अवधारणा पर अलग-अलग विचार होंगे। बेशक, हम जो भी परिभाषा लेते हैं, एक वेक्टर - एक प्राथमिक ज्यामितीय दृष्टिकोण से - एक ज्यामितीय वस्तु है जो एक दिशा (यानी, समांतरता तक निर्दिष्ट एक सीधी रेखा और उस पर एक दिशा) और एक लंबाई द्वारा विशेषता है। हालांकि, ऐसा एक परिभाषा बहुत सामान्य है, विशिष्ट ज्यामितीय अभ्यावेदन का कारण नहीं है। इस सामान्य परिभाषा के अनुसार, समानांतर अनुवाद को एक सदिश माना जा सकता है। वास्तव में, कोई निम्नलिखित परिभाषा को स्वीकार कर सकता है: "एक वेक्टर कोई समानांतर अनुवाद है"। यह परिभाषा तार्किक रूप से त्रुटिहीन है, और इसके आधार पर वैक्टर पर क्रियाओं के पूरे सिद्धांत का निर्माण किया जा सकता है और इस सिद्धांत के अनुप्रयोगों को विकसित किया जा सकता है। हालाँकि, यह परिभाषा, इसकी पूर्ण संक्षिप्तता के बावजूद, हमें यहाँ भी संतुष्ट नहीं कर सकती है, क्योंकि एक ज्यामितीय परिवर्तन के रूप में एक वेक्टर का विचार हमें अपर्याप्त रूप से स्पष्ट और वेक्टर मात्राओं के बारे में भौतिक विचारों से दूर लगता है।

इसलिए, वेक्टर एक दूसरे के समानांतर सभी का परिवार कहा जाता है, समान रूप से निर्देशित और समान लंबाई वाले खंड होते हैं (चित्र 1)।

चित्र में वेक्टर को एक तीर के साथ एक खंड के रूप में दर्शाया गया है (यानी, खंडों का पूरा परिवार नहीं, जो एक वेक्टर है, लेकिन इनमें से केवल एक खंड को दर्शाया गया है)। मोटे लैटिन अक्षरों का प्रयोग पुस्तकों और लेखों में सदिशों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। ए, बी, सीऔर इसी तरह, और नोटबुक में और बोर्ड पर - शीर्ष पर डैश के साथ लैटिन अक्षर , वही अक्षर, लेकिन बोल्ड नहीं, लेकिन हल्का (और नोटबुक में और बोर्ड पर, बिना डैश के एक ही अक्षर) वेक्टर की लंबाई को दर्शाता है। लंबाई को कभी-कभी लंबवत रेखाओं द्वारा भी इंगित किया जाता है - संख्या के मॉड्यूल (पूर्ण मान) के रूप में। इस प्रकार, वेक्टर की लंबाई ए द्वारा चिह्नित एया मैं ए मैं, और हस्तलिखित पाठ में, वेक्टर की लंबाई ए द्वारा चिह्नित एया मैं ए I. खंडों (चित्र 2) के रूप में वैक्टर के प्रतिनिधित्व के संबंध में, यह याद रखना चाहिए कि वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने वाले खंड के छोर असमान हैं: खंड का एक छोर दूसरे से।

एक वेक्टर की शुरुआत और अंत के बीच अंतर करें (अधिक सटीक रूप से, एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने वाला एक खंड)।

अक्सर, वेक्टर की अवधारणा को एक और परिभाषा दी जाती है: एक निर्देशित खंड को वेक्टर कहा जाता है।इस मामले में, समान लंबाई और समान दिशा वाले वैक्टर (यानी निर्देशित खंड) (चित्र 3) को समान माना जाता है।

सदिशों को समान रूप से निर्देशित कहा जाता है यदि उनकी अर्ध-रेखाएँ समान रूप से निर्देशित हों।

वैक्टर का जोड़।

उपरोक्त सभी अभी तक एक सदिश की अवधारणा को सार्थक और पर्याप्त उपयोगी नहीं बनाते हैं। जब हम एक प्रकार का "ज्यामितीय अंकगणित" पेश करते हैं, तो वेक्टर की अवधारणा को अधिक सामग्री और अनुप्रयोगों की एक समृद्ध संभावना मिलती है - वैक्टर का अंकगणित, जो हमें वैक्टर जोड़ने, उन्हें घटाने और उन पर कई अन्य ऑपरेशन करने की अनुमति देता है। इस संबंध में हम ध्यान दें कि, आखिरकार, एक संख्या की अवधारणा केवल अंकगणितीय संक्रियाओं की शुरूआत के साथ दिलचस्प हो जाती है, न कि अपने आप में।

वैक्टर का योग ए तथा वी निर्देशांक के साथ ए 1, ए 2 और ए 1, ए 2वेक्टर कहा जाता है साथ निर्देशांक के साथ ए 1 + गुणा 1, ए 2 + गुणा 2,वे। ए(ए 1; ए 2) + वी(1 में; 2 में) = साथ(ए 1 + इन 1; ए 2 + इन 2)।
परिणाम:
समतल पर सदिश योग की क्रमविनिमेयता सिद्ध करने के लिए, हमें एक उदाहरण पर विचार करने की आवश्यकता है। ए तथा वी - वैक्टर (चित्र 5)।
होने देना

1. हम एक समांतर चतुर्भुज OASV बनाते हैं: AM II OB, VN II OA।

सहबद्धता को सिद्ध करने के लिए, हम एक मनमाना बिंदु O सदिश से अलग रखते हैं ओए = ए, बिंदु A वेक्टर से एबी = में और बिंदु से - वेक्टर सूरज = एस। तो हमारे पास हैं: एबी + बीसी = एसी।
समानता कहाँ से आती है ए + (में + साथ) = (ए + बी)+ पी. ध्यान दें कि उपरोक्त प्रमाण में ड्राइंग का बिल्कुल भी उपयोग नहीं किया गया है। वैक्टर का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए यह विशिष्ट (कुछ कौशल के साथ) है। आइए अब उस स्थिति पर विचार करें जब सदिश ए तथा वी विपरीत दिशाओं में निर्देशित और समान लंबाई है; ऐसे वैक्टर विपरीत कहलाते हैं। सदिश जोड़ का हमारा नियम इस तथ्य की ओर ले जाता है कि दो विपरीत सदिशों का योग एक "वेक्टर" होता है जिसकी लंबाई शून्य होती है और कोई दिशा नहीं होती है; यह "वेक्टर" "शून्य लंबाई के खंड" द्वारा दर्शाया गया है, अर्थात। बिंदु लेकिन यह भी एक सदिश है, जिसे शून्य कहा जाता है और इसे प्रतीक 0 से दर्शाया जाता है।

वेक्टर समानता।

दो वैक्टर को समान कहा जाता है यदि वे समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त होते हैं। इसका मतलब है कि एक समानांतर अनुवाद है जो एक वेक्टर की शुरुआत और अंत को क्रमशः दूसरे वेक्टर की शुरुआत और अंत तक ले जाता है।

सदिशों की समानता की इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि विभिन्न सदिश समान रूप से निर्देशित होते हैं और निरपेक्ष मान में समान होते हैं।

और इसके विपरीत: यदि वैक्टर समान रूप से निर्देशित हैं और निरपेक्ष मूल्य में समान हैं, तो वे समान हैं।

वास्तव में, चलो वैक्टर अब तथा साथ डी - समान रूप से निर्देशित वैक्टर, निरपेक्ष मान के बराबर (चित्र 6)। एक समानांतर स्थानांतरण जो बिंदु C को बिंदु A तक ले जाता है, आधी-पंक्ति सीडी को आधी-रेखा AB के साथ जोड़ता है, क्योंकि वे समान रूप से निर्देशित होते हैं। और चूंकि खंड एबी और सीडी बराबर हैं, तो बिंदु डी बिंदु बी के साथ गठबंधन किया गया है, यानी समानांतर स्थानांतरण वेक्टर का अनुवाद करता है सीडी वेक्टर करने के लिए एबी. तो वैक्टर अब तथा साथ डी समान हैं, जिन्हें सिद्ध किया जाना था।