Lignes du second ordre.
Ellipse et son équation canonique. Cercle

Après une étude approfondie lignes droites dans l'avion Nous continuons à étudier la géométrie du monde bidimensionnel. L'enjeu est doublé et je vous invite à visiter une galerie pittoresque d'ellipses, d'hyperboles, de paraboles, qui en sont des représentants typiques. lignes de deuxième commande. L'excursion a déjà commencé, et d'abord une brève information sur l'ensemble de l'exposition aux différents étages du musée :

Le concept de droite algébrique et son ordre

Une ligne sur un avion s'appelle algébrique, si dans système de coordonnées affines son équation a la forme , où est un polynôme constitué de termes de la forme ( – nombre réel, – nombres entiers non négatifs).

Comme vous pouvez le constater, l'équation d'une droite algébrique ne contient pas de sinus, cosinus, logarithmes et autres beau monde fonctionnel. Seuls les X et les Y sont présents entiers non négatifs degrés.

Ordre de ligneégal à la valeur maximale des termes qui y sont inclus.

D'après le théorème correspondant, la notion de droite algébrique, ainsi que son ordre, ne dépendent pas du choix système de coordonnées affines, par conséquent, pour faciliter l'existence, nous supposons que tous les calculs ultérieurs ont lieu dans Coordonnées cartésiennes.

Équation générale la deuxième ligne de commande a la forme , où – nombres réels arbitraires (Il est d'usage de l'écrire avec un facteur deux), et les coefficients ne sont pas égaux à zéro en même temps.

Si , alors l’équation se simplifie en , et si les coefficients ne sont pas égaux à zéro en même temps, alors c'est exactement équation générale d'une droite "plate", qui représente première ligne de commande.

Beaucoup ont compris le sens des nouveaux termes, mais néanmoins, pour maîtriser à 100% la matière, on met les doigts dans la douille. Pour déterminer l'ordre des lignes, vous devez itérer tous les termes ses équations et trouver pour chacune d'elles somme de degrés variables entrantes.

Par exemple:

le terme contient « x » à la puissance 1 ;
le terme contient « Y » à la puissance 1 ;
Il n’y a pas de variables dans le terme, donc la somme de leurs puissances est nulle.

Voyons maintenant pourquoi l'équation définit la droite deuxième commande:

le terme contient « x » à la puissance 2 ;
la somme a la somme des puissances des variables : 1 + 1 = 2 ;
le terme contient « Y » à la puissance 2 ;
tous les autres termes - moins degrés.

Valeur maximale : 2

Si nous ajoutons en plus, disons, à notre équation, alors elle déterminera déjà ligne de troisième ordre. Il est évident que la forme générale de l'équation linéaire du 3ème ordre contient un « ensemble complet » de termes, dont la somme des puissances des variables est égale à trois :
, où les coefficients ne sont pas égaux à zéro en même temps.

Dans le cas où vous ajoutez un ou plusieurs termes appropriés contenant , alors nous en parlerons déjà Lignes de 4ème ordre, etc.

Nous devrons rencontrer plus d'une fois des droites algébriques des ordres 3e, 4e et supérieur, notamment lors de la familiarisation avec système de coordonnées polaires.

Cependant, revenons à l'équation générale et rappelons ses variantes scolaires les plus simples. A titre d'exemples, on trouve une parabole dont l'équation peut être facilement réduite à une forme générale, et une hyperbole avec une équation équivalente. Cependant, tout ne se passe pas si bien...

Un inconvénient majeur de l’équation générale est qu’il n’est presque toujours pas clair quelle ligne elle définit. Même dans le cas le plus simple, vous ne réaliserez pas immédiatement qu’il s’agit d’une hyperbole. De telles dispositions ne sont bonnes que pour une mascarade, c'est pourquoi un problème typique est considéré au cours de la géométrie analytique amener l'équation de la droite du 2ème ordre à la forme canonique.

Quelle est la forme canonique d’une équation ?

Il s'agit de la forme standard généralement acceptée d'une équation, lorsqu'en quelques secondes il devient clair quel objet géométrique elle définit. De plus, la forme canonique est très pratique pour résoudre de nombreuses tâches pratiques. Ainsi, par exemple, selon l'équation canonique "plat" droit, d'une part, il est immédiatement clair qu'il s'agit d'une ligne droite, et d'autre part, le point qui lui appartient et le vecteur directeur sont facilement visibles.

Il est évident que tout 1ère ligne de commande est une ligne droite. Au deuxième étage, ce n'est plus le gardien qui nous attend, mais une compagnie bien plus diversifiée de neuf statues :

Classification des lignes de second ordre

À l'aide d'un ensemble spécial d'actions, toute équation d'une droite du second ordre est réduite à l'une des formes suivantes :

(et sont des nombres réels positifs)

1) – équation canonique de l'ellipse ;

2) – équation canonique d'une hyperbole ;

3) – équation canonique d'une parabole ;

4) – imaginaire ellipse;

5) – une paire de lignes qui se croisent ;

6) – paire imaginaire lignes sécantes (avec un seul point d'intersection valide à l'origine) ;

7) – une paire de lignes parallèles ;

8) – paire imaginaire lignes parallèles;

9) – une paire de lignes coïncidentes.

Certains lecteurs pourront avoir l’impression que la liste est incomplète. Par exemple, au point n°7, l'équation précise le couple direct, parallèle à l'axe, et la question se pose : où est l'équation qui détermine les droites parallèles à l'axe des ordonnées ? Réponse : il pas considéré comme canonique. Les lignes droites représentent le même cas standard, tourné de 90 degrés, et l'entrée supplémentaire dans la classification est redondante, car elle n'apporte rien de fondamentalement nouveau.

Ainsi, il existe neuf et seulement neuf types différents de lignes de 2ème ordre, mais en pratique les plus courantes sont ellipse, hyperbole et parabole.

Regardons d'abord l'ellipse. Comme d'habitude, je me concentre sur les points qui sont d'une grande importance pour résoudre les problèmes, et si vous avez besoin d'une dérivation détaillée de formules, de preuves de théorèmes, veuillez vous référer, par exemple, au manuel de Bazylev/Atanasyan ou d'Aleksandrov.

Ellipse et son équation canonique

Orthographe... veuillez ne pas répéter les erreurs de certains utilisateurs de Yandex qui s'intéressent à « comment construire une ellipse », « la différence entre une ellipse et un ovale » et « l'excentricité d'une ellipse ».

L'équation canonique d'une ellipse a la forme , où sont des nombres réels positifs, et . Je formulerai la définition même d'une ellipse plus tard, mais pour l'instant, il est temps de faire une pause dans le salon de la discussion et de résoudre un problème courant :

Comment construire une ellipse ?

Oui, prenez-le et dessinez-le. La tâche est fréquente et une partie importante des étudiants ne gère pas correctement le dessin :

Exemple 1

Construire l'ellipse donnée par l'équation

Solution: Tout d’abord, mettons l’équation sous forme canonique :

Pourquoi apporter ? L'un des avantages de l'équation canonique est qu'elle permet de déterminer instantanément sommets de l'ellipse, qui sont situés en des points. Il est facile de voir que les coordonnées de chacun de ces points satisfont à l’équation.

Dans ce cas :


Segment de ligne appelé axe majeur ellipse;
segment de ligne – petit axe;
nombre appelé arbre semi-majeur ellipse;
nombre – petit axe.
dans notre exemple : .

Pour imaginer rapidement à quoi ressemble une ellipse particulière, il suffit de regarder les valeurs de « a » et « be » de son équation canonique.

Tout va bien, lisse et beau, mais il y a un bémol : j'ai fait le dessin à l'aide du programme. Et vous pouvez réaliser le dessin en utilisant n’importe quelle application. Cependant, dans la dure réalité, il y a un morceau de papier à carreaux sur la table et des souris dansent en rond sur nos mains. Les personnes ayant un talent artistique peuvent bien sûr discuter, mais vous avez aussi des souris (bien que plus petites). Ce n’est pas en vain que l’humanité a inventé la règle, le compas, le rapporteur et d’autres appareils simples pour dessiner.

Pour cette raison, il est peu probable que nous soyons capables de dessiner avec précision une ellipse en connaissant uniquement ses sommets. Ce n'est pas grave si l'ellipse est petite, par exemple avec des demi-axes. Alternativement, vous pouvez réduire l'échelle et, par conséquent, les dimensions du dessin. Mais en général, il est hautement souhaitable de trouver des points supplémentaires.

Il existe deux approches pour construire une ellipse : géométrique et algébrique. Je n’aime pas la construction à l’aide d’un compas et d’une règle car l’algorithme n’est pas le plus court et le dessin est très encombré. En cas d'urgence, merci de vous référer au manuel, mais en réalité il est beaucoup plus rationnel d'utiliser les outils de l'algèbre. A partir de l'équation de l'ellipse dans le brouillon on exprime rapidement :

L’équation se décompose alors en deux fonctions :
– définit l'arc supérieur de l'ellipse ;
– définit l'arc inférieur de l'ellipse.

L'ellipse définie par l'équation canonique est symétrique par rapport aux axes de coordonnées, ainsi que par rapport à l'origine. Et c'est génial : la symétrie est presque toujours un signe avant-coureur de cadeaux. Évidemment, il suffit de traiter le 1er quartier de coordonnées, il nous faut donc la fonction . Il demande à être trouvé des points supplémentaires avec abscisses . Tapons trois messages SMS sur la calculatrice :

Bien sûr, il est également agréable que si une erreur grave est commise dans les calculs, cela devienne immédiatement évident lors de la construction.

Marquons les points sur le dessin (rouge), les points symétriques sur les arcs restants (bleu) et connectons soigneusement toute l'entreprise avec une ligne :


Il est préférable de dessiner le croquis initial très finement, puis d'appliquer ensuite une pression avec un crayon. Le résultat devrait être une ellipse tout à fait correcte. Au fait, aimeriez-vous savoir quelle est cette courbe ?

Définition d'une ellipse. Foyers d'ellipse et excentricité d'ellipse

Une ellipse est un cas particulier d’ovale. Le mot « ovale » ne doit pas être compris dans le sens philistin (« l'enfant a dessiné un ovale », etc.). Il s'agit d'un terme mathématique qui a une formulation détaillée. Le but de cette leçon n'est pas de considérer la théorie des ovales et de leurs différents types, qui ne font pratiquement pas l'objet d'une attention particulière dans le cours standard de géométrie analytique. Et, conformément à des besoins plus actuels, on passe immédiatement à la définition stricte d'une ellipse :

Ellipse est l'ensemble de tous les points du plan, la somme des distances à chacun d'eux à partir de deux points donnés, appelée des trucs ellipse, est une quantité constante, numériquement égale à la longueur du grand axe de cette ellipse : .
Dans ce cas, les distances entre les foyers sont inférieures à cette valeur : .

Maintenant, tout deviendra plus clair :

Imaginez que le point bleu « voyage » le long d’une ellipse. Ainsi, quel que soit le point de l’ellipse que l’on prend, la somme des longueurs des segments sera toujours la même :

Assurons-nous que dans notre exemple la valeur de la somme est bien égale à huit. Placez mentalement le point « euh » au sommet droit de l'ellipse, puis : , c'est ce qu'il fallait vérifier.

Une autre méthode pour le dessiner repose sur la définition d’une ellipse. Les mathématiques supérieures sont parfois la cause de tensions et de stress, il est donc temps de faire une autre séance de déchargement. Veuillez prendre du papier Whatman ou une grande feuille de carton et épinglez-le sur la table avec deux clous. Ce seront des astuces. Attachez un fil vert aux têtes de clous saillantes et tirez-le jusqu'au bout avec un crayon. La mine du crayon finira à un certain point qui appartient à l'ellipse. Commencez maintenant à déplacer le crayon le long de la feuille de papier, en gardant le fil vert bien tendu. Continuez le processus jusqu'à ce que vous reveniez au point de départ... super... le dessin peut être vérifié par le médecin et le professeur =)

Comment trouver les foyers d’une ellipse ?

Dans l'exemple ci-dessus, j'ai représenté des points focaux « prêts à l'emploi », et nous allons maintenant apprendre à les extraire des profondeurs de la géométrie.

Si une ellipse est donnée par une équation canonique, alors ses foyers ont des coordonnées , où est-il distance de chaque foyer au centre de symétrie de l'ellipse.

Les calculs sont plus simples que simples :

! Les coordonnées spécifiques des foyers ne peuvent pas être identifiées avec la signification de « tse » ! Je répète que c'est DISTANCE de chaque foyer au centre(qui dans le cas général ne doit pas nécessairement être situé exactement à l'origine).
Et par conséquent, la distance entre les foyers ne peut pas non plus être liée à la position canonique de l’ellipse. En d’autres termes, l’ellipse peut être déplacée vers un autre endroit et la valeur restera inchangée, tandis que les foyers changeront naturellement leurs coordonnées. Veuillez en tenir compte lorsque vous approfondirez le sujet.

L'excentricité de l'ellipse et sa signification géométrique

L'excentricité d'une ellipse est un rapport qui peut prendre des valeurs comprises dans l'intervalle .

Dans notre cas:

Voyons comment la forme d'une ellipse dépend de son excentricité. Pour ça fixer les sommets gauche et droit de l'ellipse considérée, c'est-à-dire que la valeur du demi-grand axe restera constante. Alors la formule d'excentricité prendra la forme : .

Commençons par rapprocher la valeur d'excentricité de l'unité. Ceci n'est possible que si. Qu'est-ce que ça veut dire? ... souviens-toi des astuces . Cela signifie que les foyers de l'ellipse « s'écarteront » le long de l'axe des abscisses vers les sommets latéraux. Et comme « les segments verts ne sont pas en caoutchouc », l'ellipse commencera inévitablement à s'aplatir, se transformant en une saucisse de plus en plus fine enfilée sur un axe.

Ainsi, plus la valeur de l'excentricité de l'ellipse est proche de l'unité, plus l'ellipse est allongée.

Modélisons maintenant le processus inverse : les foyers de l'ellipse se dirigèrent l'un vers l'autre, s'approchant du centre. Cela signifie que la valeur de « ce » devient de plus en plus petite et, par conséquent, l'excentricité tend vers zéro : .
Dans ce cas, les « segments verts » deviendront au contraire « encombrés » et commenceront à « pousser » la ligne d'ellipse de haut en bas.

Ainsi, Plus la valeur de l'excentricité est proche de zéro, plus l'ellipse est similaire à... regardez le cas limite où les foyers sont réunis avec succès à l'origine :

Un cercle est un cas particulier d'ellipse

En effet, en cas d'égalité des demi-axes, l'équation canonique de l'ellipse prend la forme , qui se transforme par réflexe en l'équation d'un cercle de centre à l'origine du rayon « a », bien connu de l'école.

En pratique, la notation avec la lettre « parlante » « er » est plus souvent utilisée : . Le rayon est la longueur d'un segment, chaque point du cercle étant éloigné du centre d'une distance de rayon.

A noter que la définition d'une ellipse reste tout à fait correcte : les foyers coïncident, et la somme des longueurs des segments coïncidents pour chaque point du cercle est une constante. Puisque la distance entre les foyers est , alors l'excentricité de tout cercle est nulle.

Construire un cercle est simple et rapide, il suffit d’utiliser une boussole. Cependant, il est parfois nécessaire de connaître les coordonnées de certains de ses points, dans ce cas nous suivons la voie familière - nous amenons l'équation à la forme joyeuse de Matanov :

– fonction du demi-cercle supérieur ;
– fonction du demi-cercle inférieur.

Ensuite, nous trouvons les valeurs requises, différencier, intégrer et faire d'autres bonnes choses.

L'article, bien sûr, est uniquement à titre de référence, mais comment pouvez-vous vivre dans un monde sans amour ? Tâche créative pour une solution indépendante

Exemple 2

Composez l'équation canonique d'une ellipse si l'un de ses foyers et son demi-petit axe sont connus (le centre est à l'origine). Trouvez des sommets, des points supplémentaires et tracez une ligne dans le dessin. Calculez l'excentricité.

Solution et dessin à la fin de la leçon

Ajoutons une action :

Faire pivoter et traduire parallèlement une ellipse

Revenons à l'équation canonique de l'ellipse, c'est-à-dire à la condition dont le mystère tourmente les esprits curieux depuis la première mention de cette courbe. Alors nous avons regardé l'ellipse , mais n’est-il pas possible en pratique de répondre à l’équation ? Après tout, ici aussi, cela semble être une ellipse !

Ce genre d’équation est rare, mais il existe. Et cela définit en fait une ellipse. Démystifions :

À la suite de la construction, notre ellipse native a été obtenue, tournée de 90 degrés. C'est, - Ce entrée non canonique ellipse . Enregistrer!- l'équation ne définit aucune autre ellipse, puisqu'il n'y a pas de points (foyers) sur l'axe qui satisferaient à la définition d'une ellipse.

En astronomie, lorsqu'on considère le mouvement des corps cosmiques sur des orbites, le concept d'« ellipse » est souvent utilisé, car leurs trajectoires sont précisément caractérisées par cette courbe. Dans l'article, nous examinerons la question de savoir ce que représente le chiffre marqué et donnerons également la formule pour la longueur de l'ellipse.

Qu'est-ce qu'une ellipse ?

Selon la définition mathématique, une ellipse est une courbe fermée pour laquelle la somme des distances de l'un de ses points à deux autres points spécifiques situés sur l'axe principal, appelés foyers, est une valeur constante. Vous trouverez ci-dessous une figure qui explique cette définition.

Sur la figure, la somme des distances PF" et PF est égale à 2 * a, c'est-à-dire PF" + PF = 2 * a, où F" et F sont les foyers de l'ellipse, "a" est la longueur de son demi-grand axe. Le segment BB" est appelé demi-petit axe, et la distance CB = CB" = b - longueur du demi-petit axe. Ici, le point C détermine le centre de la figure.

L’image ci-dessus montre également une méthode simple avec une corde et deux clous qui est largement utilisée pour dessiner des courbes elliptiques. Une autre façon d'obtenir ce chiffre est de l'effectuer sous n'importe quel angle par rapport à son axe, qui n'est pas égal à 90 o.

Si l’ellipse tourne le long de l’un de ses deux axes, elle forme alors une figure tridimensionnelle, appelée sphéroïde.

Formule pour la circonférence d'une ellipse

Bien que la figure en question soit assez simple, la longueur de sa circonférence peut être déterminée avec précision en calculant les intégrales dites elliptiques du deuxième type. Cependant, le mathématicien indien autodidacte Ramanujan a proposé au début du XXe siècle une formule assez simple pour la longueur d'une ellipse, qui se rapproche du résultat des intégrales marquées par le bas. Autrement dit, la valeur en question calculée à partir de celle-ci sera légèrement inférieure à la longueur réelle. Cette formule ressemble à : P ≈ pi *, où pi = 3,14 est le nombre pi.

Par exemple, que les longueurs des deux demi-axes de l'ellipse soient égales à a = 10 cm et b = 8 cm, alors sa longueur P = 56,7 cm.

Tout le monde peut vérifier que si a = b = R, c'est-à-dire qu'on considère un cercle ordinaire, alors la formule de Ramanujan se réduit à la forme P = 2 * pi * R.

A noter que dans les manuels scolaires une autre formule est souvent donnée : P = pi * (a + b). C'est plus simple, mais aussi moins précis. Ainsi, si on l'applique au cas considéré, on obtient la valeur P = 56,5 cm.

En astronomie, lorsqu'on considère le mouvement des corps cosmiques sur des orbites, le concept d'« ellipse » est souvent utilisé, car leurs trajectoires sont précisément caractérisées par cette courbe. Dans l'article, nous examinerons la question de savoir ce que représente le chiffre marqué et donnerons également la formule pour la longueur de l'ellipse.

Qu'est-ce qu'une ellipse ?

Selon la définition mathématique, une ellipse est une courbe fermée pour laquelle la somme des distances de l'un de ses points à deux autres points spécifiques situés sur l'axe principal, appelés foyers, est une valeur constante. Vous trouverez ci-dessous une figure qui explique cette définition.

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Sur la figure, la somme des distances PF" et PF est égale à 2 * a, c'est-à-dire PF" + PF = 2 * a, où F" et F sont les foyers de l'ellipse, "a" est la longueur de son demi-grand axe. Le segment BB" est appelé demi-petit axe, et la distance CB = CB" = b - longueur du demi-petit axe. Ici, le point C détermine le centre de la figure.

L’image ci-dessus montre également une méthode simple avec une corde et deux clous qui est largement utilisée pour dessiner des courbes elliptiques. Une autre façon d'obtenir ce chiffre est de couper le cône à n'importe quel angle par rapport à son axe, qui n'est pas égal à 90o.

Si l’ellipse tourne le long de l’un de ses deux axes, elle forme alors une figure tridimensionnelle, appelée sphéroïde.

Formule pour la circonférence d'une ellipse

Bien que la figure en question soit assez simple, la longueur de sa circonférence peut être déterminée avec précision en calculant les intégrales dites elliptiques du deuxième type. Cependant, le mathématicien indien autodidacte Ramanujan a proposé au début du XXe siècle une formule assez simple pour la longueur d'une ellipse, qui se rapproche du résultat des intégrales marquées par le bas. Autrement dit, la valeur en question calculée à partir de celle-ci sera légèrement inférieure à la longueur réelle. Cette formule ressemble à : P ≈ pi *, où pi = 3,14 est le nombre pi.

Par exemple, que les longueurs des deux demi-axes de l'ellipse soient égales à a = 10 cm et b = 8 cm, alors sa longueur P = 56,7 cm.

Tout le monde peut vérifier que si a = b = R, c'est-à-dire qu'on considère un cercle ordinaire, alors la formule de Ramanujan se réduit à la forme P = 2 * pi * R.

A noter que dans les manuels scolaires une autre formule est souvent donnée : P = pi * (a + b). C'est plus simple, mais aussi moins précis. Ainsi, si on l'applique au cas considéré, on obtient la valeur P = 56,5 cm.

ovale est une courbe boîte fermée qui a deux axes de symétrie et se compose de deux cercles de support de même diamètre, conjugués intérieurement par des arcs (Fig. 13.45). Un ovale est caractérisé par trois paramètres : la longueur, la largeur et le rayon de l'ovale. Parfois, seules la longueur et la largeur de l'ovale sont précisées, sans définir ses rayons, alors le problème de la construction d'un ovale a une grande variété de solutions (voir Fig. 13.45, a... d).

Des méthodes de construction d'ovales basées sur deux cercles de référence identiques qui se touchent (Fig. 13.46, a), se coupent (Fig. 13.46, b) ou ne se coupent pas (Fig. 13.46, c) sont également utilisées. Dans ce cas, deux paramètres sont effectivement précisés : la longueur de l'ovale et l'un de ses rayons. Ce problème a de nombreuses solutions. Il est évident que R > OA n'a pas de limite supérieure. En particulier R = O1O2(voir Fig. 13.46.a et Fig. 13.46.c), et les centres Ô 3 Et Ô 4 sont déterminés comme les points d'intersection des cercles de base (voir Fig. 13.46, b). Selon la théorie générale des points, les contraintes sont déterminées sur une ligne droite reliant les centres des arcs de cercles osculateurs.

Construire un ovale avec des cercles de support touchants(le problème a plusieurs solutions) ( riz. 3.44). Depuis les centres des cercles de référence À PROPOS Et 0 1 avec un rayon égal, par exemple, à la distance entre leurs centres, tracez des arcs de cercle jusqu'à ce qu'ils se coupent en des points À PROPOS 2 et Ô3.

Graphique 3.44

Si à partir de points À PROPOS 2 et Ô 3 tracer des lignes droites passant par les centres À PROPOS Et Ô 1, puis à l'intersection avec les cercles supports on obtient les points de liaison AVEC, C1, D Et J 1. À partir de points À PROPOS 2 et Ô 3à partir des centres de rayon R2 dessiner des arcs de conjugaison.

Construire un ovale avec des cercles de référence qui se croisent(le problème a aussi de nombreuses solutions) (Fig. 3.45). A partir des points d'intersection des cercles de référence C2 Et Ô 3 tracer des lignes droites, par exemple, passant par des centres À PROPOS Et Ô 1 jusqu'à ce qu'ils croisent les cercles de référence aux points de jonction C, C1D Et J 1, et les rayons R2,égal au diamètre du cercle de référence - l'arc de conjugaison.

Figure 3.45 Figure 3.46

Construire un ovale le long de deux axes spécifiés AB et CD(Fig. 3.46). Vous trouverez ci-dessous une des nombreuses solutions possibles. Un segment est tracé sur l'axe vertical OE,égal à la moitié du grand axe UN B. Du point AVEC comment dessiner un arc avec un rayon à partir du centre SEà l'intersection avec le segment de droite CAà ce point E1. Vers le milieu du segment AE1 restituer la perpendiculaire et marquer les points de son intersection avec les axes de l'ovale Ô 1 Et 0 2 . Points de construction Ô 3 Et 0 4 , symétrique aux points Ô 1 Et 0 2 par rapport aux axes CD Et UN B. Points Ô 1 Et 0 3 seront les centres des cercles de référence de rayon R1,égal au segment Environ 1 A, et les points O2 Et 0 4 - centres de conjugaison arcs de rayon R2,égal au segment O2C. Lignes droites reliant les centres Ô 1 Et 0 3 Avec O2 Et 0 4 A l'intersection avec l'ovale, les points de liaison seront déterminés.

Dans AutoCAD, un ovale est construit à l'aide de deux cercles de référence de même rayon, qui :

1. avoir un point de contact ;

2. intersection;

3. ne se croisent pas.

Considérons le premier cas. On construit un segment OO 1 =2R, parallèle à l'axe X ; à ses extrémités (points O et O 1) sont placés les centres de deux cercles supports de rayon R et les centres de deux cercles auxiliaires de rayon R 1 =2R. A partir des points d'intersection des cercles auxiliaires O 2 et O 3, les arcs CD et C 1 D 1 sont construits respectivement. Les cercles auxiliaires sont supprimés, puis les parties intérieures des cercles supports sont découpées par rapport aux arcs CD et C 1 D 1. Sur la figure ъъ, l'ovale résultant est mis en évidence par une ligne épaisse.

Figure Construire un ovale avec des cercles de support touchants de même rayon

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Ellipse

est une courbe fermée sur un plan qui peut être obtenue comme l'intersection d'un plan et d'une circulaire

cylindre

, ou comme projection orthogonale

cercle

à l'avion.

Cercle

est un cas particulier

ellipse

. Avec

hyperbole

Et

parabole

,

ellipse

est

section conique

Et

quadrique

.

ellipse

est coupé par deux droites parallèles, puis le segment reliant les milieux des segments formés à l'intersection des droites et

ellipse

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